Demuestra que si kv = 0 entonces o bien k = 0 o v = 0.

Question

Esto debería ser simple, pero parece que no logro entenderlo. Para un espacio vectorial V sobre un campo F, demuestra que si fv = 0, entonces o bien f = 0 o v = 0 donde $f \in F, v \in V$.

Veo que si $f \ne 0$, entonces fv = 0 implica v = $f^{-1}$0 = 0, pero cuando v $\ne 0$, ¿cómo muestro que f = 0?

Answer 1

La declaración correcta no tiene ni en ella porque ambos $f$ y $v$ pueden ser cero:

Si $fv=0$, entonces $f=0$ o $v=0$.

Excepto por este detalle, tu prueba está bien.

De hecho, quieres probar que $P \implies Q \lor R$.

Ahora $Q \lor R$ es equivalente a $\lnot Q \implies R$, que es lo que has demostrado.

Answer 2

$k\cdot v=\vec{0}$ y $\vec{v}=\vec{0}\rightarrow k\cdot v=\vec{0}$. Si $v\neq \vec{0}$, entonces: $$k\cdot v=\vec{0}\rightarrow \left\{ \begin{array}{lcc} \text{Si}\hspace{2mm} k=0, \hspace{2mm} \text{se ha probado.} \\ \\ \text{Si}\hspace{2mm} k\neq 0\rightarrow \exists k^{-1}\rightarrow k^{-1}(kv)=k^{-1}\cdot \vec{0}\rightarrow (*) \end{array} \right.$$ $(*)(k^{-1}k)v=\vec{0}\rightarrow 1\cdot v=\vec{0}\rightarrow v=\vec{0}\hspace{2mm} (\text{y hemos asumido que}\hspace{2mm} v\neq \vec{0})\rightarrow k=0$