Demuestre que el operador $(x_n)_n\mapsto (\frac{x_n}{n}) $ es compacto

Question

Quiero demostrar que el siguiente operador es compacto:

$$T:\mathbb \ell^p\rightarrow \mathbb \ell^p, \text{ }(x_n)_n\mapsto(\frac{x_n}{n})_n \text{ } 1\leq p<\infty$$

Es la primera vez que intento demostrar que un operador es compacto.

Conozco las tres definiciones siguientes de un operador compacto:

Sea $T:X\rightarrow Y$ sea un operador acotado, entonces $T$ es compacto si

1) La imagen de la bola unitaria es relativamente compacta o

2) La imagen de cualquier conjunto acotado en X es relativamente compacta o

3) Cualquier secuencia acotada $(x_n)$ en $X$ tiene una subsecuencia tal que $Kx_{n_k}$ converge.

Pero siento que ninguna de estas definiciones puede ayudarme a demostrar la compacidad del operador directamente.

¿Hay algo así como una "forma general" de mostrar esto? Al menos para los operadores de $\mathbb \ell^p\rightarrow \ell^p$ ?

Gracias de antemano

Answer 1

Pista: Si un operador puede aproximarse mediante operadores de rango finito, entonces es compacto. Intente demostrar que $\|T-T_k\| \to 0$ para una secuencia elegida adecuada $\{ T_k\}$ de operadores de rango finito.

Prueba con $$ T_k: (x_1, x_2, \ldots)\mapsto (x_1, \frac{x_2}{2}, \ldots, \frac{x_k}{k}, 0, 0, \ldots ). $$ Es evidente que $rk(T_k)=k$ es decir, es un operador de rango finito. Dado que $$ \| T-T_k\|^p=\sup\{ \sum_{n=k+1}^{\infty}\left|\frac{x_n}{n}\right|^p;\quad \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\leq 1\}\leq $$ $$\leq \frac{1}{(k+1)^p}\sup\{ \sum_{n=k+1}^{\infty}|x_n|^p;\quad \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\leq 1\} \leq \frac{1}{(k+1)^p}$$ tenemos $$ \| T-T_k\|\leq\frac{1}{k+1} \to 0\quad (k\to \infty). $$