Soluciones para x!/y!=(y+1)!

Question

Hace poco estaba viendo un vídeo, y vi como 10*9*8*7 era igual a 7*6*5*4*3*2*1, o para hacerlo más claro, ¡10!/6!=7!. Me preguntaba si habría alguna otra solución, así que busqué en la web, para no encontrar nada. También consulté Wolfram alpha, pero sólo me dio dos soluciones extra para x=10 y punto.

¿Qué soluciones existen? ¿Existen soluciones infinitas para cualquier x arbitraria? ¿Existen soluciones infinitas para x e y?

Cualquier cosa sería de ayuda, no tengo ni idea de cómo encontrar este tipo de soluciones...

EDITAR: Thomas Andrews me dijo que al hablar de números enteros negativos debía utilizar la función Gamma. Pero para hacerlo más sencillo, ¿podría ampliar la pregunta a números negativos o complejos? Gracias.

Answer 1

Estamos resolviendo $x! = y! (y+1)! = (y+1)(y!)^2$ sobre los enteros positivos.

Podemos demostrar lo siguiente. Dado $x$ y $p$ el mayor primo menor o igual que $x$ entonces $y=p-1$ . De hecho, si $y\geq p$ entonces $p^2 | y!(y+1)!$ pero $p^2$ no divide $x!$ . Si $y < p-1$ entonces $p$ no divide $y! (y+1)!$ pero $p | x!$ .

Tenga en cuenta que lo anterior es el caso de $x=10$ y $y=6$ .

Mi esperanza es que utilizando algún hecho sobre los números primos, como el teorema de la densidad de primos, podamos demostrar que para $x \geq M$ para algunos $M$ no hay soluciones. Es decir, hay un número finito de soluciones.

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EDIT: Utilizando el postulado de Bertrand generalizado, para números suficientemente grandes, existe un primo $p$ con $x \geq p\geq 3/4 x$ . Entonces, si existe una solución, $$x! = \Gamma(x+1) = \Gamma(p+1)\Gamma(p+2) \geq \Gamma(p+1)^2 \geq \Gamma(3x/4+1)^2.$$ Sustituyendo la fórmula de Stirling se obtiene $$(x/e)^x \sqrt{2 \pi x} \geq [(3x/4e)^{3x/4} \sqrt{2 \pi (3x/4)}]^2$$ que se simplifica en $$\sqrt{2 \pi x} \geq \frac{3 \pi}{2} x \left(\left(3/4e\right)^3 x \right)^{x/2}.$$

Sin embargo, como $x \to \infty$ el lado derecho va al infinito más rápido que el lado izquierdo. Por lo tanto, se viola la desigualdad y concluimos que hay un número finito de soluciones. (Todo lo anterior se puede hacer riguroso, sabiendo que la fórmula de Stirling es un resultado asintótico, y tratando con límites).

Answer 2

Considere los números primos que aparecen en el intervalo $ \frac{x}{2} < p_i < x $ .

Si $x! = (y!)^2 (y+1)$ entonces cada primo $p_i$ debe ocurrir exactamente una vez, lo que significa que $y < p_i $ y, por tanto $y=p_i + 1$ . Por lo tanto, si tenemos 2 primos en el rango, entonces no hay ningún valor posible de $y$ que satisfaga la ecuación.

Utilizamos una forma más fuerte del Postulado de Bertrand, que establece que si $n \geq 12$ entonces hay un primo entre $n $ y $\frac{4}{3}n$ . En particular, esto nos da 2 primos entre $n$ y $\left(\frac{4}{3} \right)^2n < 2n$ .

Por lo tanto, sólo necesitamos comprobar las soluciones hasta $x= 25$ . Dejo que compruebes que las únicas soluciones son $(x,y) = (10,6), (2,1), (1,0), (0,0).$

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Obsérvese que la versión generalizada del postulado de Bertrand establece que, para cualquier constante $k>1$ existe un número entero $N$ tal que para todo $n>N$ hay un primo entre $n$ y $kn$ .

Resulta que sé que para $k= \frac{4}{3}$ , $N=12$ . Esto da 2 primos entre $n$ y $2n$ que a menudo resulta útil (como en este caso).

Answer 3

No sé qué hace Wolfram alpha, pero

$$x=2,$$ $$y=1,$$

satisface $\frac{x!}{y!}=(y+1)!$ .

Answer 4

No existe un método matemático para hallar la secuencia de todos esos términos.

es decir, no se puede encontrar la siguiente solución posible basándose en la solución actual, y por lo tanto, no se puede derivar una ecuación general para encontrar tales soluciones.

Sin embargo, puede probar diferentes combinaciones para ver si alguna de ellas satisface la solución del problema. El siguiente código comprueba si existe tal solución ¡hasta 100!

for i=1 to 100
    for j=0 to i
        {
         if(i!/j!==(j+1)!)      // you'll have to do a function to find factorial too
         //print i,j 
        }

Un problema similar al tuyo es, 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 . lo mismo para 370 & 371....

así que no hay fórmula para encontrar el primer término 153, o los siguientes términos 370 y 371. Sólo tienes que comprobar si las diferentes combinaciones de números satisfacen la solución o no.