Hay dos nociones de lo que significa para un(n de infinitas dimensiones) colector de tener una estructura de Riemann. Un fuerte Riemann estructura de un (suave) elección de producto interior en cada espacio de la tangente que induce un isomorfismo de cada espacio de la tangente con su correspondiente espacio cotangente. Una débil estructura de Riemann simplemente significa una (suave) elección de producto interior en cada espacio de la tangente.
Fuerte de Riemann estructuras de existir sólo si el colector está inspirado en un espacio de Hilbert, e incluso entonces, tienen que ser elegido correctamente (por lo que la costumbre $L^2$-métrica en el espacio de $L^{1,2}$-bucles no es una estructura fuerte, aunque el colector es Hilbertian). Débil de Riemann existen estructuras mucho más ampliamente. Por una débil estructura de Riemann, usted sólo necesita saber que el colector admite suave particiones de la unidad y que el modelo de espacios de admitir interior continuo de productos. Así, por ejemplo, continua bucles en una suave colector de admitir una débil estructura de Riemann, pero no es fuerte.
Aunque el fuerte de Riemann estructuras son muy buenas para la generalización de gran parte de diferenciales ordinarias geometría de dimensiones infinitas, hay ocasiones en las que el requisito de tener un colector de Hilbert es demasiado fuerte, y uno puede conseguir lejos con el simple hecho de haber una débil estructura de Riemann. He escrito un artículo donde tener una débil estructura de Riemann en el espacio de suaves bucles fue un paso esencial y donde la construcción no han trabajado en un Hilbertian colector (aunque en realidad fue una co-Riemann estructura que necesitaba).
(Declaración de intereses: de hecho, he propuesto un refinamiento de la "débil/fuerte" clasificación como me pareció demasiado dura. Véase mi artículo aquí para esto, y el mencionado resultado, y una carga de ejemplos de espacios con diferentes tipos de Riemann de la estructura.)
