Mostrar que $I_A=\{f\in C[0,1]:\forall x\in A ,f(x)=0\}$ es un ideal cerrado de $C[0,1]$

Question

Sea $A$ un subconjunto cerrado de $[0,1]$, entonces $$I_A=\{f\in C[0,1]:\forall x\in A ,f(x)=0\}$$ es un ideal cerrado de $C[0,1]$ ¿Cuáles son los ideales maximales??

He demostrado que $I_A$ es un ideal del álgebra de Banach $C[0,1]$.

pero ¿cómo demostrar que es un ideal cerrado? He abordado esto de la siguiente manera.

sea $(f_n)$ cualquier secuencia en $I_A$ tal que converja a $f$ en $C[0,1]$ . Dado que la convergencia en $C[0,1]$ es uniforme, en particular puntual. entonces $f(x)=0$ para todo $x\in A $ ya que $f_n(x)=0$

por lo tanto $f\in I_A$. ¿Es este el método correcto??

¿y en cuanto a los ideales maximales? ¿alguna pista.

Gracias de antemano.

Answer 1

Se debe tener en cuenta que para $B \subset A$ siempre tenemos $I_A \subset I_B$. Así que para $x \in A$, sabemos que $I_A \subset I_{\{x\}}$. Ambos son ideales. ¿Qué sucede si $A \neq \{x\}$? (En este caso $I_A$ no puede ser maximal).

Ahora supongamos que $I_{\{x\}} \subset I$ para un ideal propio $I$. Entonces debe existir $g \in I$ con $g(x) \neq 0$. Al multiplicar con una función de soporte, podemos suponer que $g$ está soportado en un entorno de $x$ y $g(x)=1$ al escalarlo.

Para cualquier $f \in C([0,1])$, tenemos que $fg \in I$ y $f(1-g) \in I_x$ porque $f(x)(g(x)-1))=0$. Entonces $f= fg+f(1-g) \in I$. Así que $I = C([0,1]).

Actualización: Solo he demostrado que $I_x$ es un ideal maximal. Vamos a demostrar que cualquier ideal maximal ya está dado por algún $I_x$. Supongamos que $I$ es un ideal maximal con $I \neq I_x$ para todo $x \in [0,1]$. Dado que $I_x$ es maximal, esto implica que $I_x \not\subset I$, es decir, para cualquier $x \in [0,1]$ existe $f \in I$ con $f_x(x) \neq 0.

Al multiplicar con una función de soporte y, si es necesario, con una constante, podemos construir $g_x \in I$ tal que $g_x$ sea no negativo y $g_x(x) =1$. Sea $U_x$ un vecindario de $x$ con $g_x(y) \neq 0$ para todo $y \in U_x$. Dado que $[0,1]$ es compacto, podemos cubrirlo con finitos $U_{x_1},\ldots,U_{x_n}$. La función $g:= g_{x_1}+\ldots+g_{x_n}$ está en $I$ y no tiene ceros, es decir, está acotada por debajo. Esto muestra que $1= \frac{1}{g} g \in I$. Por lo tanto, $I = C([0,1]).

Answer 2

Su enfoque es correcto. Otra posibilidad consiste en demostrar que $I_A$ está cerrado demostrando que su complemento es abierto. Si $f\notin I_A$, entonces $f(a)\neq0$ para algún $a\in A. Tome $r=\bigl|f(a)\bigr|$. Entonces $$B(f,r)\subset C\bigl([0,1]\bigr)\setminus I_A,$$ porque si $g\in B(f,r)$, entonces $$\bigl|g(a)\bigr|\geqslant\bigl|g(a)\bigr|-\bigl|g(a)-f(a)\bigr|>r-d(f,g)>0.$$

Answer 3

Para encontrar los ideales maximales primero debes probar el recíproco:

Proposición Si $I$ es un ideal cerrado en $C([0,1])$ entonces existe $A$ tal que $I=I_A.

Eso requiere un poco de trabajo.

Lema 0. Si $I$ es un ideal y existe $f\in I$ tal que $f(x)\ne 0$ para todo $x\in[0,1]$ entonces $I=C([0,1])$.

Pista: La definición de "ideal"...

Lema 1. Supongamos que $I$ es un ideal y para cada $x\in[0,1]$ existe $f\in I$ con $f(x)\ne0$. Entonces $I=C([0,1])$.

Derivar esto del Lema 0 es el truco principal. Pista: Si $f\in I$ entonces $|f|^2\in I$, porque $|f|^2=f\overline f$.

Ahora asume que $I$ es un ideal cerrado propio. Sea $A$ la intersección del conjunto cero de $f$ para todo $f\in I$. Entonces $I\subset I_A$ y con un poco de trabajo puedes demostrar la inclusión opuesta. (El Lema 1 dice precisamente que $A\ne\emptyset$. Editar: Ahora que lo pienso, si solo quieres encontrar los ideales maximales, no necesitas la otra mitad; es suficiente mostrar que si $I$ es un ideal propio entonces existe $A\ne\emptyset$ con $I\subset I_A).

Pistas sobre cómo mostrar que $I_A\subset I$: Primero muestra que si $f$ se anula en un entorno de $A$ entonces $f\in I. Luego muestra que si $f\in I_A$ entonces existe una secuencia $(f_n)$ tal que cada $f_n$ se anula en un entorno de $A$ y $f_n\to f$ uniformemente.

Dada la proposición es fácil encontrar los ideales maximales: $I_A\subset I_B$ si y solo si $A$ y $B$ satisfacen _¿qué condición?