Inducción matemática a nivel de secundaria

Question

1. Se da la circunstancia de que $$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

Entonces, ¿cómo encontrar el valor de $2^3+4^3+\cdots+30^3$ ? ¿A qué dirección debo apuntar?

2. Demostrar por inducción matemática, que $5^n-4^n$ es divisible por 9 para todos los números pares positivos $n$ .

$$5^n-4^n=9m,\text{where $ m $ is an integer.}$$

Lo que estoy pensando en el $n+1$ paso es,

\begin{align} & 5^{n+2}-4^{n+2} \\ = {} & 5^2(5^n-4^n)+5^24^n-4^{n+2} \\ = {} & 5^2(5^n-4^n)+4^n(5^2-4^2) \\ = {} & 5^29m+4^n9 \\ = {} & 9(5^2m+4^n) \end{align}

¿Tiene sentido este planteamiento?

3. Demuestre que $a+b$ es un factor de $a^n+b^n$ donde $n$ es un número impar positivo.

Estoy pensando esto en el $n+1$ paso. $$a^{2n+1}+b^{2n+1}$$ Pero entonces no puedo ir más allá.

Answer 1

Te daré una pista para la primera. Puesto que usted ha hecho tres preguntas diferentes, espero a ver si te dicen que dividir su pregunta en allí preguntas....

1

Ya tienes una fórmula:

$$1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{n^2((n+1)^2)}{4}$$

Por lo tanto, en su caso $n = 30$ pero su suma parte de $2^3$ y no de $1^3$ por lo que hay que restar $1^3$ (a saber, uno):

$$2^3 + 3^3 + \ldots + 30^3 = \frac{30^2(30+1)^2}{4} - 1 = \frac{30^2\cdot 31^2}{4} - 1 = 216224$$

Editar porque no he entendido nada

Como sólo quieres la suma de números pares, entonces tienes: $$2^3 + 4^3 + 8^3 + \ldots + 30^3 = 2^3(1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 15^3) = 115200$$

Gracias a Crostule por notificármelo.

Answer 2

Sugerencias

1) $2^3+4^3+...+30^3=2^3(1^3+2^3+...+15^3)$ aplica ahora la fórmula que has obtenido.

2) Supongamos que $9k=5^n-4^n$ entonces $5^{n+2}-4^{n+2}=25.5^n-16.4^n=25(9k+4^n)-16.4^n=9k'+9.4^n$

3) Cambia las preguntas para demostrar que $(a+b)|(a^{2k+1}+b^{2k+1})$ para todos $k\in\mathbb{N}$ .Let $(a+b)x=a^{2k+1}+b^{2k+1}$ ahora $a^{2k+3}+b^{2k+3}=a^2.a^{2k+1}+b^2.b^{2k+1}$ vuelva a hacer sustituciones y todo saldrá bien.

Answer 3

1) $2^3 + 4^3 + 6^3 + .... +30^3 = 2^3*1^3 + 2^3*2^3 + 2^3*3^3 + ... + 2^3*15^3 = 2^3(1^3 + 2^3 + .... + 25^3)$

2) Perfecto. Lo has hecho genial. (Mejor que yo cuando no me di cuenta de que sólo valía para los números pares).

3) Si $n$ es impar entonces no quieres $a^{2n+1} + b^{2n+1}$ para el paso inductivo sino tampoco: $a^{n+2} + b^{n+2}$ (como en 2) o $n = 2k+1;$ paso inductivo en $a^{2(k+1) + 1} + b^{2(k+1)+1}$ . 2 1/2) o $n = 2k-1$ y $b^{2k+1} + b^{2k +1}$ . Cualquiera de las dos formas funcionará.

Answer 4

Para #3 utilice la técnica de #2: Para $n\in \mathbb N \cup \{0\}$ tenemos $$a^{2n+3}+b^{2n+3}=a^2(a^{2n+1}+b^{2n+1})+(-a^2+b^2)b^{2n+1}=$$ $$=a^2(a^{2n+1}+b^{2n+1})+(a+b)(b-a)b^{2n+1}.$$