¿Una razón geométrica por la que el cuadrado de la distancia focal de una hipérbola es igual a la suma de los cuadrados de los ejes?

Question

Cuando enseño cónicas, doy un argumento geométrico sencillo para la relación pitagórica de las elipses. (Por "relación pitagórica" entiendo el hecho de que el cuadrado de la distancia focal $c$ es la diferencia de los cuadrados de los ejes semimayor y semiminor, es decir $c^2=|a^2-b^2|$ para la elipse definida por $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ .) El argumento de la imagen es el siguiente: basta con dibujar el triángulo isósceles obvio desde los dos focos hasta uno de los dos puntos del extremo del eje menor. Vemos dos triángulos rectángulos; en cada uno, un cateto es la distancia focal $c$ y el otro cateto es el semieje menor, mientras que la hipotenusa es el semieje mayor. El resultado se deduce del teorema de Pitágoras aplicado a este triángulo rectángulo.

Pero cuando se trata de la relación pitagórica de las hipérbolas, no se me ocurre un dibujo igual de convincente. En su lugar, tengo que dar un argumento algebraico poco elegante para la relación $c^2=a^2+b^2$ (para la hipérbola definida por $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ con distancia focal $c$ ), directamente de la definición de la hipérbola. Los detalles están más abajo.

Ahora bien, obviamente hay una asimetría entre el argumento de la elipse y el de la hipérbola: el argumento de la elipse es casi trivial y no implica trabajar directamente a partir de la definición del lugar geométrico, pero el argumento de la hipérbola es tedioso y hace requieren trabajar directamente a partir de la definición. Así que, mi pregunta:

¿Hay alguna imagen igual de persuasiva que pueda dibujar para convencer a los altos de la relación pitagórica de las hipérbolas, sin tener que ponerme técnico con puntos en el infinito, por ejemplo?

El triángulo natural a dibujar es el triángulo rectángulo con catetos desde el centro a un vértice y desde ese vértice a una asíntota, que tiene catetos de longitud $a$ y $b$ pero entonces el problema es por qué la longitud a lo largo de la asíntota debe ser igual a $c$ . Dudo que exista un sistema puramente (euclidiano) geométrico porque este triángulo se encuentra en la asíntota, no en la propia hipérbola; sospecho que será necesario algún tipo de procedimiento de limitación.

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[Los tediosos detalles algebraicos:

Los focos se encuentran en $(\pm c,0)$ . Diga $a>b$ . Entonces la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos $(x,y)$ tal que

$$\left|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right|=2a$$

Supongamos por simplicidad la expresión entre el absoluto es positiva. (El álgebra es aún más tediosa si no hacemos tal simplificación). Entonces moviendo la raíz derecha al otro lado y elevando al cuadrado se obtiene

$$(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2+4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$

La simplificación da

$$xc-a^2=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$$

y al elevar de nuevo al cuadrado tenemos

$$x^2c^2-2xca^2+a^4=a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^2x^2-2xca^2+c^2a^2+a^2y^2$$

que se reduce a

$$x^2(c^2-a^2)-y^2a^2=a^2(c^2-a^2)$$

Definición de $b^2:=c^2-a^2$ b $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ , definición de $b$ .

Answer 1

Consideremos la hipérbola: $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\tag{1}$$ Dado $f_1,f_2$ Una de las propiedades de una hipérbola es que existe una constante, $\Delta\text{ distance}$ de modo que cualquier punto de la hipérbola, p, satisface $$\Big||p-f_1|-|p-f_2|\Big|=\Delta\text{ distance}\tag{2}$$ Considera un punto en la intersección de la hipérbola y la recta entre los focos. La dirección $\Delta\text{ distance}$ dado en $(2)$ es la distancia entre las dos ramas de la hipérbola.

$\hspace{3.3cm}$

Utilizando $(1)$ obtenemos que la distancia entre las dos ramas de la hipérbola es $2a$ . Por lo tanto, $$\Delta\text{ distance}=2a\tag{3}$$ Consideremos un punto situado a una distancia infinita en la rama superior derecha de la hipérbola. Como $\triangle gpf_2$ es esencialmente isósceles, el $\Delta\text{ distance}$ dado en $(2)$ es $$\Delta\text{ distance}=|f_1-f_2|\cos(\theta)\tag{4}$$ Utilizando $(1)$ obtenemos que $$\begin{align} \tan(\theta)&=\lim_{x,y\to\infty}\frac yx=\frac ba\\ \cos(\theta)&=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\tag{5} \end{align}$$ Combinación de $(3)$ , $(4)$ y $(5)$ obtenemos $$|f_1-f_2|=2\sqrt{a^2+b^2}\tag{6}$$ Así, si $c$ es la distancia desde el centro de la hipérbola a cada uno de los focos, entonces $(6)$ da $$c^2=a^2+b^2\tag{7}$$

Answer 2

Aquí tienes una solución para el caso especial de una hipérbola formada como una " vertical " de un cono ... es decir, para el caso en que el plano de corte es paralelo al eje del cono.

Mira "de reojo" una de las hipérbolas Esferas de diente de león dejar $C$ sea su centro, y que se encuentre tangencialmente con el cono en $T$ . Nuestra vista de la configuración es paralela al plano de corte (y perpendicular al eje del cono), que aquí aparece como la línea vertical $FM$ . Si miráramos perpendicular al plano, punto $M$ sería el centro de la hipérbola, punto $F$ sería un foco (para que $|MF| = |OC| = c$ en notación tradicional), y punto $V$ sería un vértice (de modo que $|MV| = a$ ); y lo que es más importante, y esto es un acto de fe las líneas cruzadas serían las asíntotas (con "pendiente" $\pm b/a$ donde el radio Dandelin $b = |CF|$ da el subir para un ejecute de $a$ ).

Dado que los triángulos rectángulos $\triangle OTC$ y $\triangle VMO$ tienen patas a juego ( $CT \cong OM$ por congruencia mutua con $CF$ ) y los ángulos agudos ( $\angle COT \cong \angle OVM$ ), los triángulos son a su vez congruentes, de modo que $|OT|=|MV| = a$ y $$|OT|^2 + |TC|^2 = |OC|^2 \qquad \implies \qquad a^2 + b^2 = c^2$$

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Por ahora, dejaré como ejercicio para el lector ajustar el argumento para cubrir las hipérbolas creadas por oblicuo planos de corte (así como para cubrir elipses), donde la situación es mucho más complicado. El lector también debe justificar el "salto de fe" (que, por supuesto, tiene que ser así porque sabemos cómo acaba la historia).

Por cierto, la figura se ha dibujado con GeoGebra.

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En cuanto al caso oblicuo ... Si la generatriz del cono forma un ángulo agudo $\theta$ con su eje, y el plano de corte forma un ángulo agudo $\phi$ con ese eje, entonces se puede demostrar $$a = r \cos\theta \qquad c = r \cos\phi$$

donde $r$ es el radio del círculo que pasa por los centros de Dandelin, centrado en su punto medio. Curiosamente, la relación consiguiente $$b^2 = c^2 - a^2 = r^2 \left( \cos^2\phi - \cos^2\theta \right) = r^2 \left( \sin^2\theta - \sin^2\phi \right)$$ revela $b$ como la media geométrica de los radios de Dandelin, $r \left( \sin\theta - \sin\phi \right)$ y $r \left( \sin\theta + \sin \phi \right)$ .

Aunque es posible encontrar $a$ , $b$ , $c$ representada por segmentos en un diagrama "lateral" análogo al anterior, la conexión entre $a$ , $b$ y las asíntotas de la hipérbola es mucho menos evidente. Al fin y al cabo, las asíntotas surgen de la intersección del cono, en su vértice, con un plano paralelo al plano de corte; esas líneas no tienen la misma "pendiente" que las generatrices del cono, por lo que la geometría del diagrama lateral no es suficiente para captar su naturaleza.

Answer 3

Puedes resolverlo del mismo modo que la elipse, tomando el punto con mayor valor y. Sin embargo, ese punto está en el infinito, así que en lugar de dibujar un triángulo exacto, toma un límite de triángulos con puntos en la curva (como sugeriste) y redúcelos para que no se vayan al infinito. Esto se puede hacer exacto en geometría proyectiva, porque entonces ese punto en el infinito es un punto real (hay 2, creo). De hecho, la hipérbola no es más que una elipse vuelta del revés, de modo que sus valores y mayor y menor están en el infinito (igual que una recta es un círculo con un punto en el infinito).

Answer 4

Dado que la hipérbola se define como el lugar donde la diferencia de las dos distancias es constante, no veo ningún argumento análogo. Pero ciertamente un argumento de límite sí funciona: Como $(x,y)\to \infty$ (con $x>0$ ), tenemos $\left|\frac yx\right|\to\frac ba$ y así $$\begin{align*} \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}&=\\\left(\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\right)&\frac{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}\\ &=\frac{4c}{\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}}\\&=\frac{4c}{\sqrt{(1+c/x)^2+(y/x)^2}+\sqrt{(1-c/x)^2+(y/x)^2}}\\ &\to \frac{2ac}{\sqrt{a^2+b^2}}\,. \end{align*}$$

Answer 5

Esta imagen puede ayudar: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbel-leitl-e.svg

Observemos la rama derecha de una hipérbola. Sea $C$ sea el centro, $F$ ser el enfoque correcto, y $L$ sea el punto de intersección de la línea directriz derecha con el eje mayor. La longitud de $CF$ es $c=\sqrt{a^2+b^2}$ y la de $CL$ es $l=a^2/c$ .

Dibuja un círculo con centro $C$ y radio $a$ . Se cruza con la línea directriz en $E$ . $\triangle LCE$ y $\triangle ECF$ comparten el mismo ángulo en $C$ y porque $l/a=a/c$ tienen la misma relación de longitudes laterales en el ángulo. Por lo tanto $\triangle LCE$ y $\triangle ECF$ son similares, y $\angle CEF=\angle CLE=\frac{\pi}{2}$ . En otras palabras, $EF$ es una recta tangente al círculo en $E$ . La longitud de $EF$ es $b=\sqrt{c^2-a^2}$ . Entonces $\tan\angle ECF=\frac{b}{a}$ y, por tanto, la línea $CE$ es una recta asíntota de la hipérbola.