Creo que te falta una especie de suposición y base matemática que se construye antes de la mecánica cuántica para que las cosas sean rigurosas y no cometamos errores. Así que eso es una especie de resumen que estoy dando aquí. Salta a la siguiente sección si no necesitas un resumen:
Los dos espacios que necesitamos son $l_2$ y $L_2(a,b)$ el espacio de la función cuadrada-integrable y el espacio de las secuencias cuadradas-integrables definidas para alguna variable real. Estos dos espacios jugarán un papel muy importante en la Mecánica Cuántica, ya que el estado del sistema se describe mediante vectores en LVS y LVS generalmente pertenecerá a estos dos.
¿Y la convergencia de estado en espacios vectoriales? Para una secuencia del número complejo $\{z_n\}$ queremos preguntar si convergen a algún punto límite, Las sucesiones que lo hacen son las que llamamos sucesiones de Cauchy.
$$|z_n-z_m|\rightarrow 0 \ \ \ \ \ \mathrm{as} \ \ n,m\rightarrow \infty$$
$$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}z_n \ \ \mathrm{exists}$$
Este concepto lo trasladamos a los vectores de estado.
Un conjunto de puntos que encierra todos sus puntos límite se denomina conjunto cerrado.
Convirtiendo ahora este concepto a un espacio vectorial, decimos, La secuencia $\{|\psi_n\rangle\}$ en LVS es la sucesión de Cauchy si $$\lim ||\psi_n-\psi_m||\rightarrow 0 \ \ \ \ \ \mathrm{as} \ \ n,m\rightarrow \infty $$
Un espacio vectorial lineal tiene un gran número de vectores y no es necesario que toda sucesión de Cauchy tenga un punto límite que exista en el mismo espacio. Si es así, este espacio se llama Completa LVS.
Para un espacio de dimensiones finitas, estos conceptos no son tan útiles, pero cuando se habla de espacios de dimensiones infinitas se necesitan estos requisitos.
Un LVS completo con un producto interior se denomina espacio de Hilbert.
En mecánica cuántica, utilizamos el espacio de Hilbert. Un espacio de Hilbert con una base denumerable $\{\phi_n\}$ se denomina espacio de Hilbert separable. En casos ordinarios, trabajaremos con esto.
Si este hecho se deduce naturalmente del álgebra lineal, ¿por qué tenemos que interpretar que las funciones de onda son integrables al cuadrado?
El primer postulado de la Mecánica Cuántica dice
_El estado de un sistema se describe mediante el vector de estado $|\Psi(t)\rangle$ en Espacio de Hilbert ._
El primer postulado afirma que una partícula está descrita por un ket $|\Psi(t)\rangle$ en una Hilbert que, como se recordará, contiene vectores propios normalizables a la unidad, así como vectores impropios, normalizables sólo a las funciones delta de Dirac.
De aquí se deduce :
$$\int \psi^*(x)\psi(x)dx=1$$
Pero puede que no siempre sea así. Este es un buen lugar para señalar que las ondas planas $e^{ipx/\hbar}$ todos los vectores impropios, es decir, los vectores que no pueden normalizarse a la unidad sino sólo a la función delta de Dirac) se introducen en el formalismo como entidades puramente matemáticas. Nuestra incapacidad para normalizarlos a la unidad se traduce en nuestra incapacidad para asociarles una distribución de probabilidad absoluta sensible, tan esencial para la interpretación física de la función de onda. En el caso que nos ocupa, tenemos una partícula cuya densidad de probabilidad relativa relativa es uniforme en todo el espacio. Por tanto, la probabilidad absoluta de encontrarla en cualquier volumen finito, incluso tan grande como nuestro sistema solar, es cero. Puesto que cualquier partícula en la que es probable que estemos interesados se sabrá definitivamente que existe en algún volumen finito finito de dimensiones tan grandes, está claro que ningún estado físicamente interesante estará dado por una onda plana. por una onda plana.
En segundo lugar ¿por qué es la probabilidad, ¿qué hay de malo en llamarlo simplemente un escalar aleatorio?
Este es el contenido del 4º postulado. Así que si lo llamas escalar sin ninguna interpretación física para ello que te ayude a describir el sistema entonces no tiene ninguna utilidad. Hay razón para llamarlo probabilidad (Haz otra pregunta). Nadie hace un cálculo de longitud para encontrar un número que no tiene significado físico.
