¿Cómo cambia el nivel de la columna de líquido del manómetro al calentarse el aire en el lado del depósito (no expuesto a la atmósfera)?

Question

"Un cilindro de diámetro $d=25.25 cm$ volumen $V_i=0.01m^3$ h pistón unido a un muelle. Un manómetro de mercurio conectado al cilindro está inicialmente como se muestra en la figura. "Ahora se calienta el aire de forma constante hasta que el pistón sube lentamente una distancia de 20 cm. Durante este proceso, en cualquier instante, la superficie inferior del pistón y el menisco de mercurio en el miembro abierto están al mismo nivel. Despreciando el peso del pistón y con $\rho_{mercury}=13600 > kg/m^3$ Encontrar la presión de aire final

Diagrama 1 :

Veo que tanto el volumen como la temperatura aumentan, lo que significa que no puedo predecir lo que ocurre con la presión al final del calentamiento.

Mi enfoque:

1. A nivel del fondo del pistón, al final del calentamiento, la presión es $P_{\text{atm}}$ ya que la extremidad abierta del manómetro coincide con este nivel,
2. Entonces, $P_{tank}=P_{\text{atm}}+\rho_{air}gH_{tank}$ donde $H_{tank}$ en los detalles del problema.

Pero entonces, me encuentro con la confusión del comportamiento de la presión en el equilibrio. ¿Es a que el fondo del tanque, o una presión media del tanque. En el segundo caso, mi enfoque no tendrá sentido.

Answer 1

El punto con el que estoy teniendo problemas es: ¿Cómo cambia el nivel de la columna de líquido del manómetro al calentarse el aire en el lado del depósito (no expuesto a la atmósfera)? Veo que tanto el volumen como la temperatura aumentan, lo que significa que no puedo predecir qué ocurre con la presión al final del calentamiento.

¡Bien! Para empezar, reconoces que la altura del manómetro te indica la presión existente. Puedes suponer que, si es un buen manómetro, su área es despreciable, de modo que no influye mucho en el volumen cuando sube o baja.

Entiendo por qué te preocupan todos estos parámetros y, de hecho, si supones un gas ideal, tienes todo lo que necesitas para determinar todo sobre este sistema, suponiendo que el manómetro sea insignificantemente delgado. (La idea es que si se parte de $p, V, T$ e ir a $p + \delta p, V + \delta V, T + \delta T$ entonces la fórmula del gas ideal $pV = n R T$ te da $p~\delta V + V~\delta p + \delta V~\delta p = n R \delta T.$ ) Además, la condición de que el mercurio suba perfectamente con la altura del pistón nos da la constante elástica del muelle sobre el pistón como $k = 2~\rho_\text{Hg} ~g~A$ donde $A = \frac\pi 4 d^2$ es el área del pistón y $g\approx 9.81 \text{ N}/\text{kg}$ es la aceleración gravitatoria local.

Pero no es necesario hacerlo aquí . El manómetro es un medidor de presión, y el manómetro tiene estas dos alturas $h_\text{top} + h_\text{bottom} = \text{constant},$ con la medida $$p = p_\text{atm} + \rho_\text{Hg}~g~(h_\text{top} - h_\text{bottom}).$$ Sabes que $h_\text{top}$ ha aumentado en 20 cm, por lo que para mantener la restricción constante, $h_\text{bottom}$ ha bajado 20 cm, por lo que $h_\text{top} - h_\text{bottom}$ ha pasado de 10 cm a 10 + 20 + 20 = 50 cm. Eso te dice $p$ . Conoce la presión final del aire en la botella porque lo estás midiendo .

Pero entonces, me encuentro con la confusión de a qué presión equilibra el manómetro. ¿Es a la del fondo del tanque, o a una presión media del tanque. En el segundo caso, mi enfoque no tendrá sentido.

La diferencia entre ellas es algo así como $\frac 12 \rho_\text{air}~g~V / A$ Así que si el "aire" tiene algo parecido a su densidad normal (1 kg/m^3), entonces estamos hablando de un efecto que es 10.000 veces más débil, en términos de mmHg, que las diferencias de presión reales que estás midiendo. No deberías preocuparte por esas cosas.

Answer 2

Debes asumir que la presión del aire dentro del tanque es uniforme una vez que el pistón alcanza su estado final. No lo será exactamente, pero las diferencias dentro del tanque serán de magnitud trivial, aunque muy difíciles de calcular.

El aire se calienta ahora de forma constante hasta que el pistón asciende lentamente una distancia de 20 cm. Durante este proceso, en cualquier instante, la superficie inferior del pistón y el menisco de mercurio en el miembro abierto están al mismo nivel.

Si el pistón subió 20 cm, entonces el menisco de mercurio del miembro abierto subió 20 cm. Ese mercurio tiene que venir de algún sitio, así que el menisco en el miembro del depósito tiene que haber bajado 20 cm. Eso significa que la diferencia entre los dos es ahora $(20+20+10) cm = 0.5m$ . Por supuesto, esto no durará mucho: a medida que el aire se enfríe, el aire del interior se contraerá, reduciendo la presión. Sin embargo, para el instante de estado estacionario que describen, sigue siendo igual que el problema del manómetro estándar

( $p_{airintank} = p_{atm}+\rho_{mercury} * g * h $ ) .

Dónde $h = 0.5m$

EDIT: Cambios significativos porque leí mal la pregunta.