Se puede recuperar un compacto liso colector de su anillo de las funciones lisas?

Question

Es bien sabido que si $X$ es un razonablemente buen espacio topológico (compacto Hausdorff, dicen), entonces podemos recuperar $X$ desde el anillo a $C(X)$ de funciones continuas $X\to\mathbb R$; ver este MSE pregunta para la discusión y solución de 26 en el primer capítulo de Atiyah MacDonald para la construcción. Es la misma verdad para un compacto liso colector $M$ y su anillo de $C^\infty(M)$ de las funciones lisas? Más específicamente,

1. Deje $M$ $N$ ser compacto liso colectores. Si $C^\infty(M)$ $C^\infty(N)$ son isomorfos, entonces se $M$ $N$ necesariamente diffeomorphic?
2. Se puede recuperar el espacio topológico $M$$C^\infty(M)$? Si es así, ¿se puede recuperar la suave estructura en $M$?

Answer 1

[Asumo que todos "suave colectores" son Hausdorff y paracompact.]

Sí, usted puede recuperarse $M$ como un suave colector de el anillo de $C^\infty(M)$. He aquí un boceto rápido.

En primer lugar, tenga en cuenta que podemos recuperar el conjunto de componentes conectados de $M$, ya que cada componente conectado, $N\subseteq M$ corresponde a un mínimo distinto de cero idempotente en $C^\infty(M)$, y el ideal generado por un idempotente es isomorfo como un generador de números aleatorios a $C^\infty(N)$. Por lo tanto, podemos recuperar cada uno de los anillos de $C^\infty(N)$$C^\infty(M)$, por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $M$ está conectado.

Ahora tenga en cuenta que cada anillo-homomorphism $\varphi:C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ es la evaluación en un punto de $M$, lo que nos permite recuperar el conjunto de puntos de $M$$C^\infty(M)$. Para más detalles, véanse las respuestas a esta pregunta.

Así que hemos recuperado el set $M$, y también sabemos cómo pensar de los elementos de $C^\infty(M)$ funciones $M\to\mathbb{R}$ (ya que la identificación de puntos de $M$ con su evaluación homomorphisms). Ahora también podemos recuperar la suave estructura: sabemos exactamente qué funciones $M\to\mathbb{R}$ son suaves, por lo que también sabemos exactamente qué funciones $M\to\mathbb{R}^n$ son lisas. Ya que cada conectado el colector $N$ incrusta en $\mathbb{R}^n$ algunos $n$, también sabemos exactamente qué funciones $M\to N$ son suaves para cualquier $N$. Esto significa que hemos recuperado todo el functor $\operatorname{Hom}(M,-)$ en la categoría de conectado suave colectores. Por Yoneda, esto es suficiente para recuperar la $M$.

Answer 2

Creo que esto es demostrado en el Capítulo 7 de Nestruev la Suave Colectores y Observables, pero no he mirado cuidadosamente. Más precisamente, el functor $M \to C^{\infty}(M)$ a partir de lisas colectores al frente de la real álgebras conmutativas es totalmente fiel, lo que significa que lisa mapas de $M \to N$ son precisamente álgebra de mapas $C^{\infty}(N) \to C^{\infty}(M)$.

Answer 3

Como Eric Wofsey puntos, debido a $M$ como un espacio topológico es el espacio de homomorphisms $C^\infty(M) \to \Bbb R$, adecuadamente topologized, sabemos precisamente lo que los elementos de $C^\infty(M)$ son como funciones en $M$. Para que podamos recuperar el espacio $C^\infty(M)_p$ de los gérmenes en $p$, y de ahí que podamos recuperar la dimensión de $M$ como la dimensión del espacio de derivaciones. Ahora podemos seleccionar un conjunto de $n$ funciones $M \to \Bbb R$ tal de que estas funciones induce un isomorfismo $T_pM \to T_p \Bbb R^n$; la restricción de las funciones de un subconjunto apropiado de $M$, estos son los gráficos. Por lo que podemos explícitamente construir los gráficos de $C^\infty(M)$.

Profundamente una forma elegante de explicar qué está pasando (aunque se puede hacer lo anterior en todas las dimensiones, y el suavizado de la teoría adecuada sólo en la dimensión $n \geq 5$) es el suavizado de la teoría. Suavizado de la teoría equipa un topológico colector $M$ con un "tangente microbundle", y si usted puede levantar este microbundle estructura para una honesta vector paquete, este ascensor proporciona su colector con una suave estructura. El punto de la anterior, es que, a través de $C^\infty(M)$ a solas, podemos construir la tangente bundle $TM$, y, por tanto, invocar el suavizado de la teoría.