¿Se mantiene el ideal de lugar singular en todas las derivaciones?

Question

Sea $R$ sea un anillo conmutativo, con cualquier hipótesis que le permita responder a la pregunta -- por ejemplo, noetheriano, local, finitamente generado sobre $\mathbb C$ .

Sea $I$ es el ideal que define el lugar singular en Spec $R$ . (Con la estructura reducida del subesquema, o definida usando menores de una matriz Jacobiana, de nuevo lo que sea que ayude).

¿Es obvio y/o cierto que cualquier derivación $d:R \to R$ es decir, un mapa aditivo que cumple la regla de Leibniz $d(ab) = a\ db + b\ da$ tiene $dI \leq I$ ?

Moralmente, $d$ es definir un automorfismo infinitesimal de Spec $R$ y el lugar singular debe ser preservado por automorfismos. Así que esperaba que hubiera una demostración sin sentido usando el jacobiano, pero no la he encontrado. Como de costumbre, una referencia sería aún mejor que una prueba.

Answer 1

Robert Hart demuestra en [Hart, R. Derivaciones sobre anillos conmutativos. J. London Math. Soc. (2) 8 (1974), 171--175. MR0349654 (50 #2147)] que si $R$ es una conmutativa finitamente generada $k$ -entonces cada $k$ -preserva todos los ideales de ajuste del módulo de diferenciales de Kähler $\Omega_{R/k}$ . El primer ideal de ajuste es el ideal jacobiano.

Answer 2

El hecho de que el lugar geométrico singular se mantenga sólo es cierto en la característica cero: por ejemplo, si tomamos la curva ( $x^p = y^2$ ) en $\mathbb{A}^2$ entonces el ideal $(x, y)$ no se conserva en la derivación $d/dx$ en característica $p$ . Por otra parte, el ideal jacobiano en este caso, $(y)$ se conserva.

En característica cero se puede demostrar que el lugar geométrico singular se conserva exponenciando derivaciones: dada una derivación $D$ de $\mathcal{O}_X$ se puede considerar $e^{t D}$ una derivación de $\mathcal{O}_X[[t]]$ y la composición de éste con un carácter $\mathcal{O}_X \to k$ correspondiente a un punto singular da un carácter $\mathcal{O}_X((t)) \to k$ también con la misma dimensión del espacio tangente, por lo que corresponde a un punto singular. Por tanto, se conserva el lugar singular, ya que el lugar singular teórico es la intersección de todos los núcleos de este tipo.

Este teorema se debe, creo, a Seidenberg: es el corolario del Teorema 12 en "Differential ideals in rings of finitely generated type" en AJM 1967.