Demuestre que todos los elementos de una secuencia son menores que todos los elementos de otra secuencia.

Question

Sea $\{a_n\}_1^\infty$ y $\{b_n\}_1^\infty$ sean dos secuencias en $\mathbb{R}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N}$ es cierto que $a_n \leq b_n, a_n \leq a_{n+1}, \text{ and } b_{n+1} \leq b_n$ .

Queremos mostrar $\forall m,n \in \mathbb{N}$ es cierto que $a_m \leq a_n$ y que hay un número $r \in \mathbb{R}$ tal que $a_m \leq r \leq b_n$ .

He procedido de la siguiente manera:

Tenemos $a_{n} \leq b_{n} \implies a_{n+1} \leq b_{n+1}$ y así $a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n$ .

¿No implica esto que $a_m \leq a_n$ ? ¿Incluso sin afirmar el hecho obvio de que los conjuntos son límites superior e inferior entre sí? Parece entonces que $r$ seguiría..

EDITAR : Tomando algunas de las ideas de abajo he escrito una prueba sencilla. Los comentarios son bienvenidos y apreciados.

Desde $a$ es monotónicamente creciente y $b$ es monotónicamente decreciente tenemos $\forall m,n \in \mathbb{N}, a_n \leq a_{\max(m,n)} \leq b_{\max(m,n)} \leq b_n \implies a_m \leq b_n$ . Toma $r = a_{\max(m,n)} \text{ or } r = b_{\max(m,n)} \implies a_m \leq r \leq b_n$ .

Answer 1

Es evidente que $a_n$ es una sucesión monotónicamente creciente limitada anteriormente por $b_1$ Por lo tanto, según el teorema de convergencia monótona $a_n\to r$ (decir )

Dado que ya ha demostrado que $a_n\leq b_n\forall n\in \mathbb N$ se deduce que $r\leq b_n\forall n$

Por lo tanto $a_n\leq r\leq b_n$

Answer 2

En primer lugar, observamos que $b_1$ es un límite superior para $(a_n)$ . Desde $(a_n)$ es monótona creciente, el Teorema de Convergencia Monótona establece que $(a_n)$ converge a su supremum $A$ . Del mismo modo, $a_1$ es un límite inferior para $(b_n)$ . Desde $(b_n)$ es monótona decreciente, el Teorema de Convergencia Monótona establece que $(b_n)$ converge a su mínimo $B$ .

Afirmamos que $A\leq B$ . Supongamos que no. Entonces tenemos $A>B$ . Sea $\varepsilon=\frac{A-B}{2}$ . Desde $A$ es el límite de $(a_n)$ existe $M\in\mathbb{Z}$ tal que para todo $n\geq M$ tenemos $|a_n-A|<\varepsilon$ . Del mismo modo, puesto que $B$ es el límite de $(b_n)$ existe $N\in\mathbb{Z}$ tal que para todo $n\geq N$ tenemos $|b_n-N|<\varepsilon$ . Elija $K=\max\{M,N\}$ . Observamos que para todos los $n\geq K$ tenemos $a_n>b_n$ lo que contradice $a_n\leq b_n$ para todos $n\geq 1$ .

Por último, para todos $n\geq 1$ tenemos $a_n < A \leq B < b_n$ .

Answer 3

Se le pide que muestre $a_m \le r \le b_n$ . Observe que los índices deben ser diferentes, el resultado que da tiene el mismo índice (es decir $ a_n \le r \le b_n$ ). Dado $m,n \in \mathbb{N}$ tenemos sin pérdida de generalidad $m\le n$ . Entonces $a_m \le a_n \le b_n$ por su hipótesis, tome $r=a_n$ y ya está.