Sea G un grupo tal que $(xy)^2 = (yx)^2$ para todo x, y ∈ G. Demuestre que $xy^2 = y^2x$ para todo x, y ∈ G.

Question

No estoy muy seguro de haberlo hecho bien, pero tenía otra solución que no tenía sentido para mí:

Esta es la solución que no entiendo. Yo no lo resolví de esta manera.

$=>(xy)^{-1}(xy)^2(yx)^{-1} = (xy)^{-1}(yx)^2(yx)^{-1}$

$=>(xy)(yx)^{-1} = (xy)^{-1}(yx)$

entonces de alguna manera tenemos

$=> xy^2 = x((x^{-1}y)x)^2$

$=> xy^2 = x(x(yx^{-1}))^2$

$=> xy^2 = (xyx)^{-1}(xyx^{-1})x$

$=> xy^2 = y^2x$

Estoy seguro de que la solución anterior es incorrecta sólo necesito confirmación.

Esta es mi solución:

Dado que G es un grupo, para todo x,y G existe $x^{-1}$ , $y^{-1}$ G.

$(xy)^2 = (yx)^2$

$y^{-1}x^{-1}xyxy = y^{-1}x^{-1}yxyx$

$xy = y^{-1}x^{-1}yxyx$

$y = x^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyx$

Tome el lado izquierdo de $xy^2 = y^2x$ y sustituir $y = x^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyx$

$xy^2 = x(x^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyx)^2$

$xy^2 = x(x^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyx)(x^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyx)$

$xy^2 = xx^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyxx^{-1}y^{-1}x^{-1}yxyx$

$xy^2 = y^{-1}x^{-1}yyxyx$

$xy^2 = y^{-1}x^{-1}y^2xyx$

$xyxy^2 = y^2xyx$

$y^{-1}x^{-1}xyxy^2 = y^2xyxx^{-1}y^{-1}$

$xy^2 = y^2x$ .

Answer 1

La prueba más corta que se me ocurre ( no puedo decir si la tuya es correcta: demasiado larga para mí, pero se ve bien):

$$\color{red}{xyxy}\stackrel{Def.}=(xy)^2\stackrel{\text{given}}=(yx)^2\stackrel{Def.}=\color{blue}{yxyx}$$

Elija $\;y=x^{-1}y\;$ en lo anterior:

$$\color{red}{xx^{-1}yxx^{-1}y}=\color{blue}{x^{-1}yxx^{-1}yx}\implies y^2=x^{-1}y^2x\implies xy^2=y^2x$$