La topología cociente de un espacio vectorial topológico es invariante de traslación

Question

Sea $(L,\tau)$ sea un espacio vectorial topológico sobre $\Bbb{C}$ y $M$ sea un subespacio de $L$ y que $$f:L\to L/M$$ sea el mapa canónico de $L$ en $L/M$ .Let $ \hat \tau$ sea la topología del cociente en $L/M$ . Así $U \subset L/M$ es abierto si $f^{-1}(U)$ está abierto en $L$ . Me gustaría demostrar que $\hat \tau$ es invariante de la traslación. Basta con demostrar que para cualquier $\hat a\in L/M$ , $U+\hat a$ está abierto en $L/M$ si $U\in\hat\tau$ .

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Sea $\hat a\in L/M$ y $U\subset L/M$ estar abierto. Por definición $\hat \tau$ , $ f^{-1}(U)$ está abierto en $L$ . Necesidad de demostrar que $f^{-1}(U+\hat a)$ también está abierto en $L$ . Si uno tiene
$$ f^{-1} (U+\hat a)= f^{-1} (U) + f^{-1}(\{\hat a\}), $$ entonces la prueba estará hecha ya que $f^{-1} (U) + f^{-1}(\{\hat a\})$ está abierto en $L$ por la propiedad de invariancia de traslación de $\tau$ . Sólo puedo demostrar que $$ f^{-1} (U+\hat a)\supset f^{-1} (U) + f^{-1}(\{\hat a\}) $$ utilizando la linealidad de $f$ . ¿Y en la otra dirección? ¿O se le ocurre a alguien un enfoque alternativo?

Answer 1

Sea $f(x) \in U + \hat a$ Eso es, $x + M \in U + \hat a$ así que para algunos $\hat u = u + M \in U$ , $x + M = \hat u + \hat a$ . Es decir, hay $m \in M$ , $a \in \hat a$ tal que $x = u + a + m$ . Ahora $u \in f^{-1}(U)$ como $f(u) = \hat u$ , $a+m \in f^{-1}(\{\hat a\}) = \hat a$ es decir $x \in f^{-1}(U) + f^{-1}(\{\hat a\})$ .