El formalismo de Matsubara funciona para sistemas estadísticos en equilibrio, y la fórmula de Kubo corresponde a la aproximación de respuesta lineal cuando el sistema está débilmente perturbado por una interacción dependiente del tiempo. Si quieres ir más allá de estas dos aproximaciones (equilibrio o sistemas débilmente perturbados), necesitas el método de Keldysh u otros métodos de tu preferencia, como por ejemplo trabajar directamente con la matriz de densidad y no con las funciones de Green. Por ejemplo, si quieres tratar sistemas alejados del equilibrio, necesitas algo mejor que Kubo o Matsubara.
Además, en el corazón de los métodos de la función de Green está la hipótesis de la conmutación adiabática de la interacción, utilizando un teorema de Gell-Mann y Low [ Estados límite en la teoría cuántica de campos . Revisión física, 84 , 350-354, (1951) .]. Si quieres ir más allá de esta aproximación, también necesitas el método de Keldysh. Aparentemente, éste es un problema que sólo se ha debatido en serio recientemente, por lo que no haré muchos comentarios al respecto.
Tal vez usted dijo erróneamente Matsubara para la continuación analítica de los métodos de equilibrio estadístico (es decir, el verdadero método de Matsubara) a los problemas dependientes del tiempo de la mecánica estadística. Entonces los dos métodos son equivalentes. Es sólo una cuestión de convención y preferencia cuál prefieres utilizar (si el método de Keldysh o la continuación analítica del tiempo imaginario). La razón es que en el método Matsubara de los sistemas de equilibrio se supone que el tiempo es puramente imaginario, por lo que tomar tanto el tiempo real (es decir, la evolución) como la estadística significa que la variable temporal va suavemente al plano complejo $t\rightarrow t+i/k_{B}T$ (A grandes rasgos, se pueden encontrar más detalles en esta pregunta ).
Además, los problemas de campo cuántico dependientes del tiempo pueden atacarse utilizando los métodos de Keldysh (me refiero a problemas en los que se discute una sola partícula, no mecánica estadística). Pero esto no tiene nada que ver con las aproximaciones de Kubo o Matsubara, así que supongo que tu pregunta no se refería a esa posibilidad.
Por último, ( y estoy menos seguro ) Creo que la estadística cuántica sólo puede discutirse en el formalismo de Keldysh. La razón es que el enfoque de la función de Green utiliza la estadística clásica (llamo clásicos tanto a los gases fermiónicos como a los bosónicos), es decir, el equilibrio térmico. Esta es la condición bajo la cual la sustitución $e^{iHt}\rightarrow e^{H/k_{B}T}$ entre el campo cuántico y los campos estadísticos funciona. Más allá de esta ponderación estadística de Boltzmann, me temo que necesitas a Keldysh o métodos más potentes.
