Descripción explícita de $\Bbb Q_p \cap \bar{\Bbb Q}$

Question

Obsérvese que podemos incrustar $\Bbb Q_p$ en $\Bbb C$ como se discute aquí . Pero según tengo entendido, esta incrustación envía la serie de potencias a elementos trascendentales, por lo que no podemos incrustar ciertamente $\Bbb Q_p$ en $\bar{\Bbb Q}$ (Me encanta escribir barBbbQ). Y cuando completamos $\Bbb Q$ con el $p$ norma -ádica, entonces obtenemos, por ejemplo, $(p-1)$ -enésima raíz de la unidad (para verlo, basta con observar que $x^{p-1} - 1$ factores en $\Bbb Z / p$ así que por el lema de Hensel es factor en $\Bbb Q_p$ ).

Así que la pregunta es: ¿conseguimos algo más? ¿Qué más?

Answer 1

Tautológicamente, quieres describir los campos numéricos $K \subset \overline{\mathbf{Q}}$ que se incrustan en $\mathbf{Q}_p$ . Desde luego, no va a ser posible describir estos campos por completo. Por ejemplo, consideremos el polinomio:

$$f(x) = x(x-1)^{n-1} + p g(x),$$

donde $g(x)$ es un polinomio arbitrario. Para una elección aleatoria de $g(x)$ el polinomio será irreducible y (genéricamente, por irreducibilidad de Hilbert) tendrá campo de división $S_n$ . Por otra parte, el Lemma de Hensel garantizará que $K = \mathbf{Q}[x]/f(x)$ incrusta en $\mathbf{Q}_p$ .

Para una extensión de Galois $K/\mathbf{Q}$ la condición es equivalente a pedir que $K$ está unramificado en $p$ y que el elemento de Frobenius (clase de conjugación) $\mathrm{Frob}_p \in G = \mathrm{Gal}(K/\mathbf{Q})$ es la identidad.

Por ejemplo, si $K/\mathbf{Q}$ es abeliano, entonces la condición de ramificación implica que el conductor $N$ es primo de $p$ Eso es, $K \subset \mathbf{Q}(\zeta_N)$ . El mayor subcampo de $\mathbf{Q}(\zeta_N)$ que se integra en $\mathbf{Q}_p$ corresponde, por teoría de Galois, al mayor cociente en el que $\mathrm{Frob}_p$ es trivial. Sin embargo,

$$\mathrm{Frob}_p = [p] \in (\mathbf{Z}/N \mathbf{Z})^{\times} = G = \mathrm{Gal}(\mathbf{Q}(\zeta_N)/\mathbf{Q}).$$

La extensión correspondiente tiene grupo de Galois $(\mathbf{Z}/N \mathbf{Z})^{\times}/[p].$

Por ejemplo:

1. $\mathbf{Q}(\zeta_N) \hookrightarrow \mathbf{Q}_p$ sólo si $[p]$ es trivial en $G$ o, lo que es lo mismo, si $p \equiv 1 \mod N$ .

2. Habrá infinitos campos abelianos de cualquier grado dentro de $\mathbf{Q}_p$ --- para generar extensiones de grado $M$ por ejemplo, elija $N$ sea divisible por al menos dos primos distintos de la forma $1 \mod M$ . Entonces $G$ se proyecta sobre $(\mathbf{Z}/M \mathbf{Z})^2$ y, por tanto $G/[p]$ se proyecta sobre $\mathbf{Z}/M \mathbf{Z}.$

3. Una versión del problema inverso de Galois predice que existen (arbitrariamente muchos) campos $K$ con grupo de Galois cualquier grupo finito $G$ en el que cualquier primo (fijo) $p$ se divide completamente.

Answer 2

Sea $K$ sea un campo numérico no ramificado en $p$ y $f$ sea el polinomio mínimo de un generador de $\mathcal O_K$ . Entonces cualquier raíz de $f$ modulo $p$ es simple (ya que $\mathrm{disc} f \not\equiv 0 \pmod{p}$ ), y por tanto (según Hensel) se eleva a una raíz en $\mathrm Z_p$ . Por lo tanto, si existe tal raíz, tenemos una incrustación $K \subset \mathrm Q_p$ .

Por otra parte, supongamos que $K$ está totalmente ramificado en $p$ con índice de ramificación $e$ . Entonces cualquier raíz de $f$ en $\overline{\mathbb Q}_p$ tiene valoración $1/f$ y, por tanto, no puede pertenecer a $\mathbb Q_p$ . Esto significa que $K \cap \mathbb Q_p = \mathbb Q$ .

De forma más general, podemos escribir la localización $\widehat{K}_p = K \otimes_{\mathbb Q} \mathbb Q_p$ como producto directo de extensiones finitas de $\mathbb Q_p$ dependiendo de la factorización del ideal $p \mathcal O_K$ en $\mathcal O_K$ . Vemos inmediatamente que existe un morfismo $K \hookrightarrow \mathbb Q_p$ si una de estas extensiones es trivial.

Por ejemplo, en el caso de las extensiones cuadráticas: los campos de números cuadráticos incluidos en $\mathbb Q_p$ son exactamente las que están divididas (no ramificadas, no inertes) en $p$ .

Answer 3

El conjunto $\mathbb Q_p\cap \overline{\mathbb Q}$ es simplemente el conjunto de $p$ -que satisfacen un polinomio con coeficientes en $\mathbb Q$ . De hecho se pueden ver los dos conjuntos viviendo dentro del mismo, a saber $\overline{\mathbb Q_p}$ .