Hallar el término independiente de $x$ en la expansión de $$(2+x)\left(2x+\frac{1}{x}\right)^5$$
Sólo soy capaz de hacerlo con un binomio, pero cuando hay dos no entiendo del todo el proceso para hacerlo.
Respuestas
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Primero, reescribe la quinta potencia como una suma $$(2+x)\left(2x+\frac 1x\right)^5 = (2+x) \sum_{k=0}^5 {5\choose k} (2x)^\color{red}{5-k}\left(\frac 1x\right)^\color{blue}{k}$$ Idea general: Tenga en cuenta que para tener una libre (de $x$ ) cuando se multiplica por $(\color{orange}2+\color{purple}x)$ debemos tener un término constante (cuando se multiplica por $\color{orange}2$ produce un término libre) o término con $\frac{1}{x}$ (cuando se multiplica por $\color{purple}x$ produce un término libre) en la suma.
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Veamos si hay un término constante en la suma. Para comprobarlo, igualamos las potencias roja y azul ya que $x$ deberían anularse entre sí: $$5-k = k \implies k = 2.5 \qquad \color{red}{\sf X}$$ Por lo tanto, no existe tal término ya que $k$ no era un número entero.
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Veamos si existe un término con $\frac{1}{x}$ en la suma. Para comprobarlo, fijamos el $\color{red}{\text{red}} = \color{blue}{\text{blue}} - 1$ ya que después de cancelar $x$ 's, una $x$ debe "sobrevivir" en el denominador: $$5-k = k - 1 \implies k = 3 \qquad \color{gree}{\checkmark}$$ ¡Sí! Existe tal término cuando $k=3$ : $${5\choose k} (2x)^{5-k}\left(\frac 1x\right)^k\Bigg|_{k=3} = {5\choose 3} \frac 4x$$
Por último, cuando multiplicamos la suma y $(2+x)$ nuestro término constante (libre) será $$x \cdot {5\choose 3} \frac 4x = 4 {5\choose 3} = 40$$
zardos
Puntos
41
Puedes hacer la vida un poco más fácil en la primera escritura
$$(2+x)\left(2x+\frac 1x\right)^5 = \frac 1{x^5}\color{blue}{(2+x)(2x^2+1)^5}$$
Ahora, ya ves que sólo necesitas calcular el coeficiente de $x^5$ en $(2+x)(2x^2+1)^5$ . Esto es fácil ya que $(2x^2+1)^5$ contiene sólo potencias pares de $x$ pero está buscando $x^5$ . Por lo tanto, utilizando la expansión binomial se obtiene
\begin{eqnarray*}[x^5](2+x)(2x^2+1)^5 & = & [x^5](2+x)\binom 52(2x^2)^2 \\ & = & \binom 52 \cdot 4 = 40 \end{eqnarray*}
