La Wikipedia ofrece una prueba, pero no entiendo cómo:
$$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + ba^{n-2} +\cdots + b^{n-1})$$
se desprende de
$$x^{n-1} + x^{n-2} +\cdots + x + 1 = \frac{x^n - 1}{x-1}$$
¿Podría alguien explicarme cómo la suma de la serie geométrica explica la factorización?
Las dos fórmulas coinciden mejor, si se divide la primera ecuación por $b^n$ y a continuación, establecer $x=a/b$ (en lugar de $x=b/a$ ). A continuación, simplemente dividir por el primer rhs-parenthese...
¡Gracias Ross! Una cosa más: puede que sea una pregunta extraña, pero ¿cómo podría alguien ver la intuición entre la sustitución? Quiero decir, ¿cómo es posible ver la conexión entre la suma de una serie geométrica, una sustitución de fracciones y la factorización? Parece como si alguien hubiera conectado distintas partes de las matemáticas y de repente hubiera dado con la factorización.
@asdf: Me parece más fácil encontrar la factorización teniendo en cuenta lo que ocurre con cada término. Un término típico $a^ib^{n-i-1}$ se multiplica por $(a-b)$ y hace $a^{i+1}b^{n-i-1}-a^ib^{n-i}$ El primero se anula con el segundo término del anterior y el segundo se anula con el primer término del siguiente. Todo lo que sobrevive es $a^n$ del primer término (porque no hay ningún término antes) y $-b^n$ de la última (porque no hay ningún término después).
Veo que se acepta la respuesta. Pero para futuras referencias, otra prueba sería
Dejemos que $p(x)=x^n-a^n$ . Claramente, $x=a$ es una solución. Esto significa $x-a$ es un factor de $x^n-a^n.$
Es sólo una cuestión de simple división polinómica a partir de ahí y así dividir $x^n-a^n$ por $x-a$ nos da $$x^{n-1} + ax^{n-2} +\cdots + a^{n-1}$$
Así que, $$x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1} + ax^{n-2} +\cdots + a^{n-1}).$$
Sustituir $x$ y $a$ con $a$ y $b$ .
Es sólo una simple división polinómica después de eso. Pensé que la gente lo entendería por sí misma, pero lo editaré ahora. Gracias.
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Enchufe $x=a/b$ en la fórmula de la suma geométrica, luego despejar los denominadores (multiplicar la izquierda por $b^{n-1}$ el numerador de la derecha por $b^n$ y el denominador de la derecha por $b$ y multiplicar ambos lados por $a-b$ ).
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@anon ¡Gracias anon! Sólo me preguntaba, ¿pero cómo lo has averiguado? Parece una conexión muy compleja, ¿podrías compartir tu razonamiento?
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Pero nosotros no necesito para obtener la factorización a partir de la $x$ cosas. Sólo hay que encontrar (o imaginar que se encuentra) el producto $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1})$ y observa que casi todos los términos del producto se cancelan.
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@AndréNicolas ¿Pero cómo podría alguien simplemente "encontrarlo"? ¿Cómo podría alguien descubrir tal conexión? ¿Es sólo el resultado de probar diferentes cosas al azar? ¿O es el resultado de una línea de pensamiento específica?
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@asdf: Hay un proceso llamado "homogeneización" de polinomios que es bueno conocer. Si $p(x)=c_nx^n+\cdots+c_1x+c_0$ es un polinomio cualquiera, entonces $$b^np(a/b)=c_na^n+c_{n-1}a^{n-1}b+c_{n-2}a^{n-2}b^2+\cdots+c_2a^2b^{n-2}+c_1a b^{n-1}+c_0b^n.$$ En última instancia, puede reducirse al reconocimiento de patrones: los monomios $a^kb^{n-k}$ (como $k$ varía) puede reescribirse como $(a/b)^kb^n$ y $b^n$ no varía con $k$ mientras que $(a/b)^k$ es más fácil de trabajar.
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Presumiblemente, vino de $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ y luego buscar algo similar para los poderes superiores.
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Para más información sobre la homogeneización, especialmente los aspectos geométricos, véase esta pregunta.
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@AndréNicolas $a^4-b^4=(a^2)^2-(b^2)^2$ así que eso funciona bien :)