Además es a la integración como la multiplicación es a ___

Question

¿Además es a la integración como la multiplicación es a ___? Todo el mundo sabe que la integración definitiva es "una forma términos de suma varios continuum" en un sentido áspero. ¿Podemos "multiplicamos continuo varios factores" en un sentido similar?

Answer 1

Si $f\colon [a,b] \a (0,\infty)$, entonces el análogo más próximo a un multiplicativo integral de $f$ es $$ {\prod}_a^b \,f(x)^{dx} \;\underset{\mathrm{def}}{=}\; \exp\left(\int_a^b \ln f(x)\,dx\right). $$ Esto tiene las siguientes propiedades:

1. Si $a<r<b$, entonces $\displaystyle{\prod}_a^b\,f(x)^{dx} = \left({\prod}_a^r\,f(x)^{dx}\right)\left({\prod}_r^b\,f(x)^{dx}\right)$.

2. Si $f(x)$ es una constante de la función $C$, entonces $\displaystyle{\prod}_a^b\,f(x)^{dx} = C^{b}$.

3. $\displaystyle{\prod}_a^a \,f(x)^{dx} = 1$ para cualquier función $f$.

4. $\displaystyle {\prod}_a^b\,\bigl(f(x)g(x)\bigr)^{dx} \;=\; \left({\prod}_a^b\,f(x)^{dx}\right)\left({\prod}_a^b\,g(x)^{dx}\right)$

5. $\displaystyle\left({\prod}_a^b \,f(x)^{dx}\right)^k \;=\; {\prod}_a^b \,\bigl(f(x)^k\bigr)^{dx}$ para cualquier constante $k$.

6. El (Monte Carlo) media geométrica de $f(x)$ en $[a,b]$ $\displaystyle\left({\prod}_a^b \,f(x)^{dx}\right)^{1/(b-a)}$.

7. Si $f$ es continua, entonces $\displaystyle{\prod}_a^b \,f(x)^{dx}$ es el límite de una "Riemann producto": $$ \displaystyle{\prod}_a^b \,f(x)^{dx} \;=\; \lim_{\max \Delta x_i\to 0}\, \prod_{i=1}^n f(x_i^*)^{\Delta x_i}. $$

8. Si $\displaystyle F(t) = {\prod}_a^t f(x)^{dx}$, entonces $e^{F'(t)/F(t)} = f(t)$. Del mismo modo, para cualquier $C^1$ función $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$, tenemos $$ {\prod}_a^b \bigl(e^{f'(x)/f(x)}\bigr)^{dx} = \frac{f(b)}{f(un)} $$

Answer 2

Convolución es análogo a la multiplicación.

Answer 3

Producto Integral. Matemáticas con dibujos mal tiene un artículo que menciona.

Creo que el presentado por Jim Belk es sólo de tipo I. Aquí es Tipo II.