Demuestra que 1+1=2

Question

Posible duplicado:
¿Cómo puedo convencer a alguien de que $1+1=2$ puede no ser necesariamente cierto?

Una vez leí que unos matemáticos proporcionaron una prueba muy larga de $1+1=2$ .

¿Se te ocurre alguna forma de extender el rigor matemático para presentar una prueba larga de esa ecuación? No estoy pidiendo una prueba, sino más bien algún esbozo de lo que uno consideraría para hacer la derivación lo más larga posible.

EDIT: Parece que la prueba de la que oí hablar es una referencia estándar dada aquí varias veces :) Dije que la prueba en sí es menos útil que un esquema para mí, ya que sólo sé "matemáticas a nivel de física". ¿Alguien puede proporcionar un breve resumen de lo que está pasando en la prueba? ¿Algún esquema que pueda consultar sección por sección en Wikipedia para al menos hacerme una idea de lo que podría necesitarse para hacer una demostración así?

Answer 1

Está pensando en el _Principia Mathematica_ escrito por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell. He aquí un extracto relevante:

Como puedes ver, termina con "De esta proposición se seguirá, una vez definida la suma aritmética, que 1+1=2". El teorema anterior, $\ast54\cdot43$ ya lleva un par de cientos de páginas en el libro (Wikipedia dice 370 más o menos)

Escribí un artículo del blog hace unos años que trata este tema con cierto detalle. Tal vez quiera saltarse lo que dice al principio sobre el contexto histórico de la guerra. Principia Mathematica . Pero el objetivo principal del artículo es explicar el teorema anterior.

El artículo explica la notación idiosincrásica y en su mayoría obsoleta que Principia Mathematica y cómo funciona la prueba. El teorema aquí es esencialmente que si $\alpha$ y $\beta$ son conjuntos disjuntos con exactamente un elemento cada uno, entonces su unión tiene exactamente dos elementos. Esto se establece a partir de teoremas muy ligeramente más sencillos, por ejemplo que si $\alpha$ es el conjunto que contiene $x$ y nada más, y $\beta$ es el conjunto que contiene $y$ y nada más, entonces $\alpha \cup \beta$ contiene dos elementos si y sólo si $x\ne y$ .

La principal razón por la que se tarda tanto en llegar a $1+1=2$ es que Principia Mathematica empieza casi de la nada y va subiendo a pasos muy pequeños y graduales. El trabajo de G. Peano demuestra que no es difícil producir un conjunto útil de axiomas que puedan demostrar que 1+1=2 mucho más fácilmente que Whitehead y Russell.

El teorema posterior al que se alude, que $1+1=2$ aparece en la sección $\ast110$ :

Answer 2

Véase Aritmética de Axiomas de Peano en Wikipedia. Establecer $0+1=1$ y utilizar (in)formales recursión para la definición de $$ \begin{array}{rrll} +:&\mathbb{N}\times\mathbb{N}&\longrightarrow &\mathbb{N}\\ & (n,\varphi^{-1}(m)) &\longmapsto & \varphi \big( n+m\big) \end{array} $$ si $m\neq 0$ . Aquí la biyección $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\big\backslash\{0\}$ es la función sucesora: $$ \varphi(0)=1\\ \varphi(1)=2\\ \vdots\\ \varphi(n)=n+1. $$

Answer 3

Sospecho que se refiere a los Principia Mathematica. Le remito a un presupuesto de Wikipedia sobre cómo la prueba no aparece hasta la página 379.

Answer 4

Una prueba es una secuencia finita de fórmulas (véase aquí ), donde cada fórmula es un axioma o se deduce de las anteriores mediante alguna regla de inferencia. Por lo tanto, si desea que su prueba sea muy larga, sólo tiene que repetir un axioma apropiado un gran número de veces.