Un ejemplo de función continua acotada en $(0,1)$ que no es uniformemente continua

Question

No encuentro el ejemplo de una función continua sobre $(0,1)$ que está limitada en $(0,1)$ pero no uniformemente continua en $(0,1)$ . ¿Hay alguna? Gracias.

Answer 1

Si no conoce el resultado mencionado en el ejemplo de @Tomek Kania,He aquí un enfoque elemental para demostrar que $\sin (\frac{1}{x})$ no es uniformemente continua en $(0,1)$ . $$f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right).$$ Está ciertamente delimitado. Sin embargo, no es uniformemente continua. Dado $\epsilon=\frac{1}{4}$ para cualquier $\delta\gt 0$ podemos encontrar un valor suficientemente grande de $n$ para que $$\frac{2}{(2n+1)\pi} - \frac{1}{2n\pi} = \frac{4n - (2n+1)}{2n(2n+1)\pi} = \frac{2n-1}{2n(2n+1)\pi}\lt \delta,$$ pero $$f\left(\frac{2}{(2n+1)\pi}\right) =\sin\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right) = \pm 1,$$ y $$f\left(\frac{1}{2n\pi}\right) = \sin(2n\pi) = 0,$$ así que dejar $x=\frac{2}{(2n+1)\pi}$ y $y=\frac{1}{2n\pi}$ tenemos $$|x-y|\lt\delta\text{ but }|f(x)-f(y)| \geq \epsilon.$$

Answer 2

Toma $$f(x) = \sin 1/x.$$

No es uniformemente continua como tales funciones admiten extensión continua al cierre del dominio . Aquí no tenemos tal extensión ya que hay dos secuencias $(x_n)$ y $(y_n)$ en $(0,1)$ que tienden a 0 tal que $f(x_n)=1$ y $f(y_n)=0$ para todos $n$ .