Si $a_n$ es positiva y decreciente, demuestre que la serie alterna converge.

Question

Demuéstralo:

Si $a_n$ es positivo y decreciente, entonces $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{a_n}{n}$ converge.

Mi primer instinto es utilizar la prueba de series alternas (AST), pero la inclusión de la secuencia $a_n$ me tiene un poco perplejo. Para el AST, necesito demostrar que el límite de $a_n=0$ y $a_n$ está disminuyendo, ¿correcto? Me han dado que es decreciente y positiva, así que ¿cómo puedo usar eso para demostrar que su límite es igual a $0$ ?

¿Demostraría así que la serie es convergente o debería hacerlo de otra forma?

Answer 1

Usted tiene $b_1 + b_2 + b_3 + \dots= -a_1 + \frac{a_2}{2}- \frac{a_3}{3}+-\dots$

Tienes que demostrar tres cosas para que el AST entre en vigor. En primer lugar, que la secuencia $b_j$ es de signo alterno. Segundo que la secuencia de valores absolutos $|b_j|$ es tal que $|b_{j+1}|\leq|b_j|$ siempre. Tercero que $b_j$ es una secuencia nula (que converge a cero).

Dado que la secuencia $b$ es una simple transformación de secuencia $a$ Sí, creo que bastaría con demostrar que el límite de $a_n$ es $0$ y está disminuyendo. PERO, no se puede suponer que $a_n$ converge a cero.