Encontrar $\frac{\partial ^8 f}{\partial x^4\partial y^4}$

Question

Dada la función $f(x,y)=\frac{1}{1-xy}$ encontrar el valor de $\frac{\partial ^8 f}{\partial x^4\partial y^4}(0,0)$ .

Primero desarrollé la función en una serie de Taylor usando series geométricas alrededor de $(0,0)$ : $$f(x,y)=\frac{1}{1-xy}=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty(xy)^n}$$ . La aproximación de Taylor de orden 8 viene dada por $$f(x,y)\thickapprox\displaystyle{\sum_{n=0}^4(xy)^n}=1+xy+(xy)^2+(xy)^3+(xy)^4$$ , donde el grado del último elemento es 8 por lo que efectivamente obtuvimos la aproximación. Es la serie de taylor por su singularidad. mirando el elemento en la serie original de taylor derivando 4 veces por x y 4 por y es el unico termino que es con coeficiente 1 (todas las otras derivadas existen dos veces ya que alrededor de $(0,0)$ f es continua y también sus derivadas). Por tanto, a primera vista $$\frac{\partial ^8 f}{\partial x^4\partial y^4}=8!\cdot 1=40320$$ pero mypad afirma que $\frac{\partial ^8 f}{\partial x^4\partial y^4}=576$ . ¿En qué me equivoco?

Answer 1

$$\frac{\partial^4 x^4y^4}{\partial x^4}=y^4\frac{\partial^4 x^4}{\partial x^4}=24y^4$$ $$\frac{\partial^4 24y^4}{\partial y^4}=24\times 24 = 576$$