Derivación del equilibrio simétrico de la subasta a primer precio

Question

Consideremos la siguiente variante de una subasta de 1er precio en una configuración IPV. Se recogen las ofertas selladas. El mejor postor El mejor postor paga su puja, pero recibe el objeto sólo si el resultado del lanzamiento de una moneda es cara. Si el resultado es cruz, el vendedor se queda con el objeto y el mejor postor puja. Supongamos simetría de pujas.

Mi intento fue el siguiente:

Para hallar la estrategia de equilibrio simétrico en una subasta de primer precio, primero tenemos que hallar nuestra estrategia de puja óptima y la de todos los demás $N-1$ licitadores. Escribimos nuestra estrategia en términos de la expectativa de ganar la subasta como $\beta^\textbf{I}(x)=E[Y_1|Y_1 < x]$ donde $Y_1$ es el segundo mejor postor. Debido al contexto de nuestro problema debemos generar nuestra declaración de resultados como $$G(\beta^{-1}(b)) \cdot \frac{(x-b)}{2}$$ donde $G(\beta^{-1}(b)$ es la CDF con nuestra oferta a la inversa de nuestra estrategia que produce nuestro valor. Ahora maximizamos ajustando la ecuación a $0$ con respecto a nuestra oferta $b$ . $$\frac{g(\beta^{-1}(b)}{\beta^{\prime}(\beta^{-1}(b))} \cdot \frac{(x-b)}{2}-G(\beta^{-1}(b))=0$$ Sustituyendo $\beta(x)$ para $b$ produce $$\frac{g(x)}{\beta^{\prime}(x)}\frac{(x-\beta(x))}{2}-G(x)=0$$ $$\frac{g(x)x-\beta(x)g(x)}{2\beta^{\prime}(x)}-\frac{2\beta^{\prime}(x)G(x)}{2\beta^{\prime}(x)}=0$$ $$\beta(x)g(x)+2\beta^{\prime}(x)G(x)=g(x)x$$ $$2\beta(x)g(x)+2\beta^{\prime}(x)G(x)=g(x)x+\beta(x)g(x)$$

Sin embargo, estoy atascado al intentar simplificar esta ecuación final. Normalmente, sin probabilidad reducida a la mitad, que son capaces de resolver la ecuación diferencial en el lado izquierdo y luego integrar ambos lados.

¿Es mi ecuación inicial o mi planteamiento del problema?

Answer 1

Voy a suponer que las valoraciones de los licitadores son iid con distribución $F$ compatible con $\left[ \underline{v} ,\overline{v}\right]\subset \mathbb R_+$ . Denotemos $G(v) = (F(v))^{N-1}$ que da la probabilidad de que el $N-1$ otros licitadores tienen un valor inferior a $v$ .

Fijamos un licitador, lo llamamos $i$ y conjeturar que el $N-1$ otros licitadores emplean una estrategia de equilibrio simétrico $\beta\colon \left[ \underline{v} ,\overline{v}\right]\to \mathbb R$ . Suponemos además que $\beta$ es estrictamente creciente (y por tanto invertible) y diferenciable.

Considerando la perspectiva del licitador $i$ sabemos que la probabilidad de que $i$ gana la subasta tras pujar $b \ge 0$ es $G(\beta^{-1}(b))$ . Supongamos que $i$ para el objeto es $x$ . En $i$ gana la subasta, siempre pagan la puja $b$ pero recibe el bien con probabilidad $1/2$ . Por lo tanto, su recompensa por ganar la subasta mientras puja $b$ y teniendo valoración $x$ debe ser $x/2 - b$ . En particular, obsérvese que la puja no se reduce a la mitad, ya que el adjudicatario pagará la puja $b$ independientemente del resultado del lanzamiento de la moneda.

Así, $i$ de la puja $b$ debe ser $$ G(\beta^{-1}(b))\left(\frac{x}{2}-b\right). $$

Para encontrar la oferta óptima, podemos diferenciar la expresión anterior con respecto a $b$ para encontrar la condición de primer orden $$ \frac{g(\beta^{-1}(b^*))}{\beta^{\prime}(\beta^{-1}(b^*))} \left( \frac x2 - b^* \right) - G(\beta^{-1}(b^*)) = 0. $$

A partir de nuestra conjetura de que $\beta$ es una estrategia de equilibrio simétrico, debemos tener que $b^* = \beta(x)$ . Esto nos da la EDO $$ \frac{g(x)x}{2} = G(x)\beta^\prime(x) + g(x) \beta(x). \label{1}\tag{1} $$

El lado derecho puede escribirse como $$ G(x)\beta^\prime(x) + g(x) \beta(x) = \frac{\mathrm d }{\mathrm d x} (G(x)\beta(x)). $$

Integración de \eqref {1}, encontramos que $$ G(x) \beta(x) = \frac12 \int_\underline{v}^x tg(t)\,\mathrm dt $$ para que $$ \beta(x) = \frac{1}{2G(x)} \int_\underline{v}^x tg(t)\,\mathrm dt, $$ lo que significa que cada licitador puja la mitad de lo que pujaría en una subasta estándar de primer precio, que es más o menos lo que cabría esperar dada la forma de la subasta.