¿Cómo convertir este número?

Question

Cómo convertir este número:

$$(-1)\times1.625\times2^{35}$$

A esta notación:

$$5.5834\times10^{10}$$

¿Cuáles son las normas para la conversión?

Esto está sacado de un vídeo de Youtube sobre el estándar de representación de coma flotante de precisión única IEEE 754.

Answer 1

En general, cualquier número $x$ es igual a $10^{\log_{10} x}$ . En particular, para su número:

$$1.625×2^{35} = 10^{\log_{10} \left( 1.625\cdot2^{35}\right)}.$$

Puedes utilizarlo para poner tu número en la forma que desees. Empieza por tomar el logaritmo en base 10 de $1.625\cdot 2^{35}$ :

$$\begin{align} \log_{10}\left( 1.625×2^{35} \right)& = \log_{10} 1.625 + 35\cdot \log_{10} 2 \\ &= 0.2108534 + 35\cdot 3.3219809 \\ &= 10.7468 \end{align} $$

Y entonces la respuesta es:

$$\begin{align} 10^{10.7469032} & =10^{0.7469032} \cdot 10^{10} \\ & = 5.5834575\cdot 10^{10} \end{align} $$

La mejor forma de calcular el logaritmo y el logaritmo inverso ( $10^x$ ) es con un ordenador digital de algún tipo, tal vez una calculadora de bolsillo. Por ejemplo, ¿cómo se averigua que $\log_{10} 1.625 \approx 0.2108$ ? Pones 1,625 en tu calculadora y pulsas la tecla log se calcula $10^{0.7469032}$ de forma similar.

Answer 2

Vamos a convertir $2^{35}$ primero : $$2^{35}=10^{35\cdot \log_{10}(2)}\approx10^{35\cdot 0.30103}\approx 10^{10.53605}$$ $$\approx 10^{0.53605}\cdot 10^{10}\approx 3.436\cdot 10^{10}$$ Utilizamos un tabla de 'logaritmos comunes proporcionando los decimales de $\log_{10}(x/100)$ con los resultados :

• $\log_{10}(2)\approx 0.30103$ (véase $x=200$ ) y
• $\log_{10}(x/100)=0.536$ para $x$ entre $343$ y $344$ En $x/100=3.436$ por interpolación lineal ( $10^y$ es la función inversa de $\log_{10}(x)$ )

El resultado es casi : $$-1.625\cdot 3.436\cdot 10^{10}\approx -5.5835\cdot 10^{10}$$

Por supuesto, la mayoría de las calculadoras científicas le darán directamente el resultado exacto : $$-1.625×2^{35}=-55834574848$$ Puede comprobarlo con una tabla (reducida) de potencias de $2$ notando que $-1.625=-\frac {13}8$ consiguiendo : $$-\frac {13}{2^3}2^{35}=-13\cdot 2^{32}=-13\cdot 4\cdot\bigl(2^{10}\bigr)^3=-52\cdot1024^3$$