$\forall a,b\in \mathbb{R}$ , dejemos que $\displaystyle f\left(x\right)\:=\:\begin{pmatrix}\frac{x^2+ax+b}{x^2-8x+15} & x\ne 3,5 \\0 & x=3,5\end{pmatrix}$ .
Necesito Encontrar todas las discontinuidades y clasificarlas.
No estoy muy seguro de qué hacer, porque $\forall a,b\in \mathbb{R}$ .
¿Qué puedo decir sobre $x=3,5$ ?
Las discontinuidades dependen de $a$ y $b$ .
Si $x-3$ divide el numerador, $f(x)$ tiene un límite en $x=3$ de lo contrario, no. Del mismo modo con $x-5$ y $x=5$ . La función será continuo si, además, el límite es cero. Obsérvese que si $x-3$ divide el numerador, el numerador es entonces $(x-3)(x-c)$ para algunos $c$ y podrá ver fácilmente lo que $a$ y $b$ son entonces.
Ahora establezca condiciones en $a$ y $b$ basándose en esas declaraciones. Obtendrá hasta cuatro posibilidades: $f(x)$ continua en todas partes excepto en $3$ y $5$ en todas partes excepto $3$ en todas partes excepto $5$ y en todas partes. Compruébelo cuidadosamente, ya que algunas de ellas pueden no ser posibilidades reales.
¿Necesitas más pistas?
(Nota: mi respuesta original era incorrecta).
Podemos ver fácilmente que $f(x)$ es continua donde $x$ no es ni $3$ ni $5$ . Un cociente de funciones continuas es continuo excepto cuando el denominador es cero. Los polinomios son continuos, así que esto se aplica a su $f(x)$ y si $x$ no es ni $3$ ni $5$ el denominador no es cero (ya que el denominador es $(x-3)(x-5))$ .
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