¿Por qué no es la inversa de la función $x\mapsto x+\sin(x)$ expresable en términos de "las funciones que se encuentran en una calculadora"?

Question

La función

$f(x)=x+\sin(x)$

se comprueba fácilmente que es una biyección de los reales a sí misma, por lo que tiene un inverso único $y\mapsto g(y)$ tal que $f\circ g=g\circ f$ son ambos el mapa de identidad.

Ahora $g$ será casi con toda seguridad una función que no es expresable utilizando "las funciones del juego de herramientas de un estudiante de secundaria" (con lo que supongo que me refiero a $\exp$ , $\log$ y, si se quiere, las funciones trigonométricas habituales y sus amigas como $\sinh$ aunque, por supuesto, todos ellos pueden construirse a partir de exponenciales). Por razones puramente recreativas (derivadas de conversaciones que he tenido mientras enseñaba a estudiantes universitarios) estoy interesado en cómo uno prueba este tipo de cosas.

Hace unos años me interesé por una cuestión relacionada y me tomé la molestia de aprender algo de teoría diferencial de Galois. Mi motivación en aquel momento era aprender a demostrar cosas como por qué $h(t):=\int_0^t e^{x^2} dx$ no es expresable en términos de estas funciones de botón de calculadora (estoy seguro de que hay un nombre mejor para ellas, pero me temo que no lo conozco). Me he dado cuenta de que desde entonces he olvidado la mayor parte de lo que sabía, pero además tampoco tengo claro si ésta es la forma en que se supone que hay que proceder. ¿La idea es que se me ocurra alguna ecuación diferencial lineal satisfecha por $g$ y luego aplicar alguna técnica de teoría diferencial de Galois? De hecho, una de las muchas cosas que he olvidado es la siguiente: si $F$ es un campo dotado de un operador diferencial $D$ et $E/F$ es la extensión de campo obtenida añadiendo una raíz distinta de cero de $Dh=ch$ con $c\in F$ entonces el grupo de Galois de $E/F$ es resoluble, mientras que la ecuación en sí podría no serlo, en términos de funciones de botón de calculadora, si no puedo integrar $c$ .

¿Puede un alma más iluminada explicarme cómo se supone que hay que proceder? Me pregunto si no estaré confundiendo dos ideas y si lo de la teoría diferencial de Galois no es más que una pista falsa, pero me parece más sencillo preguntar que seguir dando vueltas.

Answer 1

Este documento, titulado "Funciones elementales y sus inversas" de J.F. Ritt responde a su pregunta.

Hace algún tiempo, buscando por qué algunas funciones no tienen integrales elementales, fui conducido al trabajo de Liouville, tal como lo digiere Ritt en su libro "Integración en términos finitos; la teoría de Liouville de los métodos elementales" . Fue escrito en 1948, así que creo que los derechos de autor han expirado, y se puede encontrar un enlace de descarga a través de una búsqueda en Google.

Los resultados de Liouville sobre las integrales elementales se derivaron utilizando herramientas bastante básicas (es difícil ser preciso aquí sobre lo que quiero decir con "herramientas básicas", mejor que lo vea usted mismo). Las últimas partes del libro de Ritt exploran soluciones elementales de ecuaciones diferenciales, que se basan en el trabajo de matemáticos posteriores a Liouville, y es sólo a partir de entonces cuando se utiliza algo de teoría diferencial de Galois.

El artículo de Ritt utiliza métodos algo similares a los de Liouville y, en particular, no parece utilizar la teoría diferencial de Galois. Sin embargo, es posible que exista un enfoque más moderno a su pregunta que sí utilice la teoría diferencial de Galois, ya que la generalización del trabajo original de Liouville la desarrolla.

Alternativamente, si puede expresar su función inversa en términos de la función W de Lambert como sugiere Nicholas, entonces puede responder a su pregunta mediante los métodos más específicos de este papel.

Answer 2

Por fin he encontrado una respuesta a mi propia pregunta, así que la responderé yo mismo y haré que la respuesta sea wiki comunitaria para no lucrarme con ella.

Permítanme explicar primero por qué las otras respuestas dadas aquí no resolvieron completamente el problema. Permítanme utilizar la notación estándar -- un función elemental es una función que puedes construir utilizando los botones de tu calculadora. Si permites coeficientes complejos entonces básicamente sólo necesitas exp y log, ya que puedes construir todo lo demás a partir de esto.

La respuesta de Ragib Zaman nos remite a un artículo de Ritt en el que demuestra un teorema de la forma "una función elemental cuya inversa es también una función elemental debe tener una forma muy especial", pero esta forma muy especial es bastante difícil de trabajar: es básicamente de la forma exp(función racional(log(función racional(log(función racional(exp(...))))))) donde en cada etapa se puede elegir si usar exp o log. El problema con esto es que es muy difícil (para mí) demostrar que la función $x+\sin(x)$ no puede expresarse de esta forma.

El trabajo de Ritt se basa en ideas de Liouville, y Liouville tenía muchas ideas sobre este tipo de cuestiones. Liouville demostró un criterio para determinar cuándo una función elemental tenía una integral elemental (de hecho, demostró varios resultados de este tipo, mejor expresados hoy en día en el lenguaje de los campos diferenciales). Así pues, se puede utilizar el cálculo como herramienta: se pueden emplear estrategias del tipo "la función inversa de esta función satisface cierta ecuación diferencial, lo que implica que no puede ser elemental". Pero aquí hay que ser hábil para conseguir realmente que la ecuación tenga la forma correcta. Por eso no puedo utilizar la respuesta de Nicholas para responder a mi pregunta. Nicholas observa que la ecuación de Lambert $W$ no es elemental, y conozco una prueba de ello que utiliza el cálculo y el criterio de Liouville -- el truco consiste en escribir una ecuación diferencial que (una función simple de) $W$ y luego usar Liouville para demostrar que esta ecuación diferencial no tiene soluciones elementales -- pero en el momento en que cambias un poco el problema, la ecuación diferencial cambia, y los métodos pueden no aplicarse (y en este caso no se aplican). Un análogo podría ser el siguiente: si puedo integrar $1/\sqrt{1-x^2}$ entonces, aunque se parezca bastante, es muy posible que no pueda integrar $1/\sqrt{1-x^2+x^{-2}}$ . Se trata de un ámbito en el que incluso un pequeño cambio podría desbaratar las cosas sustancialmente.

Por otra parte, estas respuestas me ayudaron enormemente, porque me proporcionaron referencias que me permitieron iniciar una búsqueda bibliográfica. Y hoy la búsqueda ha llegado a su fin, porque ha llegado a mis manos un ejemplar de "Integración en términos finitos: Liouville's theory of elementary methods" de J. F. Ritt (escrito en 1948), y en la p56 Ritt muestra cómo tratar con $x+\sin(x)$ ¡Explícitamente! Aparentemente la ecuación $y=x+a\sin(x)$ ( $a$ una constante) se denomina "ecuación de Kepler".

Así que la respuesta a la pregunta es "esto no tiene nada que ver realmente con la teoría diferencial de Galois; necesitas la teoría de Liouville, y hay una demostración en la p56 del libro de Ritt de 1948 mencionado anteriormente".

Answer 3

Para responder a esto, expresemos $\sin(x)$ como $\frac i 2(e^{-ix}-e^{ix})$ por lo que ahora tenemos $x+\frac i2(e^{-ix}-e^{ix})$ . Y usted dijo que usted está tratando de encontrar la inversa. Por lo que puedo ver, esto se relaciona con $x+e^x = y$ cuya inversa es $x-W(e^x)$ donde $W(x)$ es la función logarítmica del producto o Lambert $W$ función que no puede expresarse en términos de comillas "las funciones que se encuentran en un calibrador". Por desgracia, sólo estoy en el instituto y por lo tanto mi respuesta puede no ser correcta y pido disculpas si lo es. Esto es sólo lo que he deducido de mis conocimientos.

Answer 4

El método de Liouville aparece en la página 56 del libro de Ritt de 1948.

Otro método consiste en aplicar el teorema principal de Ritt, J. F.: Funciones elementales y sus inversas. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90 . El término de función de $y\colon x\mapsto y(x)=x+\sin(x)$ tiene que convertirse en un término de función que contenga sólo $\exp$ , $\ln$ y/o funciones algebraicas: $x-\frac{1}{2}i(e^{ix}-e^{-ix})$ . Este término de función representa $y$ como función algebraica en función de $x$ y $e^{ix}$ . Las funciones internas son algebraicamente independientes entre sí. Se concluye con el teorema de Ritt que tal función no puede tener una inversa elemental.

Un tercer método es el de Rosenlicht, M.: Sobre la resolubilidad explícita de ciertas ecuaciones trascendentales. Publications mathématiques de l'IHÉS 36 (1969) 15-22 . Es un subproducto de la teoría de Liouville de la integración en términos finitos. Está escrito en el lenguaje del álgebra diferencial, pero puede representarse también sin él. Una referencia para la ecuación de Kepler es Zarzuela Armengou, S.: Sobre algunas cuestiones de álgebra diferencial relativas a funciones elementales. Pub. Mat. UAB 26 (1982) (1) 5-15 .