Encuentre $E(X)$ con $P(X = m, Y = n)$

Question

$$P(X = m, Y = n) = \frac{e^{-7}4^m3^{n-m}}{m!(n-m)!}$$
$m \in 0, 1, 2, ..., n$
$n \in N$

P de lo contrario, cero.

Encuentre $E(X)$ .

Se puede demostrar que $$P(X = m) = \frac{e^{-4}4^m}{m!}$$

Entonces a mi entender $E(X)$ = $\sum_{m=0}^n mP(X = m)$

$$E(X) = \sum_{m=0}^n \frac{me^{-4}4^m}{m!}$$

$$4e^{-4}\sum_{m=1}^n \frac{4^{m-1}}{(m-1)!}$$

$$4e^{-4}\sum_{m=0}^{n-1} \frac{4^m}{m!}$$

¿Es ésta la respuesta? ¿O dejas que n se acerque al infinito, lo que daría $E(X) = 4$ . Esto parece más elegante, pero no estoy seguro de por qué permitirías que n se acercara a infinito, ya que deberías sumar sobre m, no sobre n.

Answer 1

No puede tener $n$ como argmax de la serie cuando hayas "sumado" ese término. Al fin y al cabo, $n$ no debe aparecer en la respuesta final. Vuelve a mirar el soporte.

$$\{(m,n)\in\Bbb N^2:1\leq n\leq \infty, 1\leq m\leq n\}=\{(m,n)\in\Bbb N^2:1\leq m\leq \infty, m\leq n\leq\infty\}$$

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Así que, efectivamente la solución es::

$$\begin{align}\mathsf E(X)&=\sum_{(m,n):1\leq m\leq n}~m~\mathsf P(X=m,Y=n)\\[1ex]&=\sum_{m:1\leq m}~m~\sum_{n:m\leq n}~\frac{e^{-7}4^m3^{n-m}}{m!(n-m)!}\\[1ex]&=\sum_{m=1}^\infty \dfrac{e^{-4}4^m}{(m-1)!}\sum_{n=m}^\infty \frac{e^{-3}3^{n-m}}{(n-m)!}\\[1ex]&=4\sum_{j=0}^\infty \dfrac{e^{-4}4^j}{j!}\sum_{k=0}^\infty \frac{e^{-3}3^{k}}{k!}\\[1ex]&= 4\sum_{j=0}^\infty \dfrac{e^{-4}4^j}{j!}\\[2ex]&=4\end{align}$$