Superficies de Lorentz, métricas conformes y valores propios

Question

Por lo que entiendo de las superficies de Lorentz (espaciotiempos de dimensión 2), parece que, según Teorema de Kulkarni dos superficies de Lorentz suficientemente razonables (sólo me interesan las superficies con topología $\Bbb R^2$ ) son conformemente equivalentes, es decir, $g_1 = \Omega^2 g_2$ . Esto incluye el espacio de Minkowski, lo que significa que todos deben ser conformemente planos.

Para hallar la métrica conformemente plana equivalente, supuse que al ser conformes, los valores propios de la métrica deberían ser $-\Omega^2$ y $\Omega^2$ . Esto significaría entonces que, dada una simétrica real $2\times 2$ matriz con determinante negativo, los valores propios deben ser siempre inversos entre sí.

Según algunos cálculos, parece que no es así. ¿He entendido mal el teorema de Kulkani o es incorrecto el método que he probado para tal tarea?

Answer 1

El error aquí es olvidar que la única propiedad independiente de las coordenadas de los valores propios de la métrica es el signo. Consideremos la métrica de Minkowski en coordenadas cartesianas usuales $$d s^2 = -dt^2 + dx^2$$ O en forma de matriz $$\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ Es decir, los valores propios están siempre en una relación $\lambda_1/\lambda_2=-1$ .

Utilicemos ahora una nueva coordenada temporal $\tau$ tal que $$t=\frac{2}{3} \tau^{3/2}$$ que se limita a $t \in (0,\infty) \to \tau \in (0,\infty)$ . Ahora la métrica se transforma en $$ ds^2 = -\tau d\tau^2 + dx^2$$ o en forma de matriz $$\left( \begin{array}{cc} -\tau & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ Ahora vemos que la relación de valores propios es $\lambda_1/\lambda_2=-\tau$ y a medida que avanzamos $\tau \in (0,\infty)$ la relación pasa por todos los posibles valores admisibles para una matriz no degenerada de firma $(-+)$ .