Resto de la serie Taylor

Question

Supongamos que tengo un $C^\infty$ función suave $f$ definido en los reales.

Puedo aplicar la fórmula de Taylor y obtener la expresión local

$$ f(x) = \sum_{i=0}^l\frac{f^{(i)}(0)}{l!}x^i+ f^{(l+1)}(\xi(x))x^{l+1}. $$

Pregunta: ¿Es la función $\xi $ ¿Suave? La función $f$ en principio puede ser tan bonito como quieras.

Answer 1

Tenga en cuenta que el punto $\xi$ en la expresión del resto no es única en general (como está claro ya para $l=0$ ). Según un fenómeno común, la falta de unicidad puede causar una falta de continuidad. Para un ejemplo en el que no hay continuidad $\xi$ (de nuevo para $l=0$ ) piense en una función suave $f$ que es positivo y cóncavo en $I:=(0,1)$ ; con $f(0)=f(1)=0$ con $f'(1) < 1$ y que es plano en un intervalo $J:=\{f'(x)=0\}\subset I$ . Cruzar el punto $x_0=1$ el punto $\xi(x)$ tiene que saltar el intervalo $J$ causando una discontinuidad en $x=1$ . Tenga en cuenta que en este ejemplo $f^{l+2}(\xi(x_0))=0$ .

Por otro lado, volviendo a la situación general, si tienes un punto $\xi_0$ para la expresión del resto correspondiente a $x_0\neq0$ y si $f^{(l+2)}(\xi_0)\neq0$ entonces se aplica el teorema de la función implícita, dando una función suave $\xi$ en un nbd de $x_0$ .

Por último, nótese que cualquier función de este tipo $\xi$ es ciertamente continua en $x=0$ pero puede tener discontinuidades en cualquier nbd de $0$ aunque $f$ es suave (piense en una versión adecuada del primer ejemplo, con intervalos planos que se acumulan en $0$ ).