Dependencia de la cola y cópulas

Question

Me han dado esta fórmula para la dependencia de la cola superior y he leído que la dependencia de la cola depende de la cópula y no de los marginales: $$ \lambda_U = \lim_{a \to 1} \Pr[Y>F_Y^{-1}(a)\mid X>F_X^{-1}(a)] . $$

¿Las funciones inversas $F_X^{-1}(a)$ y $F_Y^{-1}(a)$ sean funciones cópula ?

Tengo una comprensión intuitiva de lo que son las couplas, pero mis conocimientos de estadística son bastante débiles, agradecería que me dieran respuestas simplistas en la medida de lo posible.

Answer 1

\begin{align} \Pr & \big[ Y > F_Y^{-1}(a) \,\big| X > F_X^{-1}(a) \big] \\[1em] & = \frac{\Pr \big[ Y > F_Y^{-1}(a), \, X > F_X^{-1}(a) \big]}{\Pr \big[ X > F_X^{-1}(a) \big]} \\[1em] & = \frac{\Pr \big[ Y < F_Y^{-1}(a), \, X < F_X^{-1}(a) \big] + \Pr \big[ X > F_X^{-1}(a) \big] + \Pr \big[ Y > F_Y^{-1}(a) \big] - 1}{1 - \Pr \big[ X < F_X^{-1}(a) \big]} \\[1em] & = \frac{C\big(a, a\big) + 1 - 2a}{1 - a} \end{align}

Así, ''dependencia de la cola [ $\lambda_U$ depende de la cópula y no de los marginales".

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Notas:

$$ \Pr \big[ A \,\big| B \big] = \frac{\Pr[A,\, B]}{\Pr[B]} $$

$$ \Pr[X > x] = 1 - \Pr[X < x] $$

$$ \Pr[X > x, Y > y] = \Pr[X < x, Y < y] + \Pr[X > x] + \Pr[Y > y] - 1 $$