Encontrar la base de un plano

Question

Conozco las condiciones de ser base. Los vectores del conjunto deben ser linealmente independientes y deben abarcar el espacio vectorial.

Sin embargo, ¿cómo puedo encontrar dos conjuntos diferentes de vectores base de la $xy$ -en el espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$ ?

Answer 1

Si he entendido bien la pregunta, usted quiere un conjunto de spanning para el $xy$ -plano en ${\mathbb R^3}$ . Un conjunto de extensión para el $xy$ -plano es $${\mathcal{B}}=\left\{\begin{bmatrix}a\\b\\0\end{bmatrix},\,\begin{bmatrix}c\\d\\0\end{bmatrix}\right\}, $$ donde $ad-bc\neq 0$ . Cualquier elección de $a,\,b\,c$ y $d$ que satisfacen la condición son un conjunto que se extiende.

Algunos ejemplos: $$\begin{align}\mathcal{B}_1&=\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right\}&\text{[the standard basis]}\\ \mathcal{B}_2&=\left\{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \,\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}\right\}\\ \mathcal{B}_3&=\left\{\begin{bmatrix}1\\-4\\0\end{bmatrix}, \,\begin{bmatrix}2\\1\\0\end{bmatrix}\right\} \end{align} $$