Pregunto esto porque ya hay una prueba aquí cuando $X$ es cuasicompacta, y también parece ser necesario ya que casi todo el mundo que menciona este resultado también menciona la cuasicompacidad (por ejemplo. aquí ), pero no veo su utilidad.
La prueba sería la siguiente $X$ sea cualquier esquema, no necesariamente cuasicompacto y $Z \subset X$ un subconjunto cerrado. Puesto que un punto de $Z$ está cerrado en $X$ si está cerrado en $Z$ basta con encontrar un punto cerrado en $Z$ que podemos ver como un subesquema cerrado de $X$ dotándola de la estructura de subesquema reducido habitual. Esta vez, $Z$ no es necesariamente cuasicompacto, pero aún puede cubrirse como un esquema con subconjuntos afines abiertos $(U_i)_{i \in I}$ con $I$ no necesariamente finito. Elijamos ahora un punto cualquiera $p$ de $Z$ (podemos ya que $Z \neq \emptyset$ ), debe estar en uno de los $U_i$ , digamos $U_1$ y su cierre se encuentra necesariamente en $U_1$ desde $(\cup_{i \neq 1} U_i)^c \subset U_1$ es un conjunto cerrado (que puedo considerar no vacío, de lo contrario $U_1$ sería superfluo en la cobertura y podría eliminarlo). Así que escribir $U_1=\operatorname{Spec}A_1$ , $p$ es un ideal primo de $A_1$ . Si es maximal, entonces su cierre es él mismo y es un punto cerrado (en $U_1$ sino también en $Z$ ). De lo contrario, podemos elegir $p'$ correspondiente al ideal máximo que contiene $p$ y $p'$ es un punto cerrado (en ambos $U_1$ y $Z$ ). En todos los casos hemos encontrado un punto cerrado dentro de $Z$ sin utilizar la cuasicompacidad.
(esto es esencialmente lo que entendí de la prueba enlazada, pero sin usar la cuasicompacidad, no le veo ningún fallo)
¿Es correcta esta prueba? Si no, ¿qué me estoy perdiendo? ¿Qué relevancia tiene la cuasicompacidad en este problema?
