Es una historia un poco larga, pero al menos puedo dar la idea. Deje que $X$ sea una variedad proyectiva lisa sobre $\mathbb{C}$ . La conjetura de Hodge dice que para todo $p\geq 0$ el mapa de clases de ciclos
$$Ch^p(X)_{\mathbb{Q}} \to Hdg^p(X)_{\mathbb{Q}}$$
de ciclos algebraicos de codimensión p a clases de Hodge es suryectiva, con coeficientes racionales. Primero, una pequeña modificación: Grothendieck dio un isomorfismo de caracteres de Chern
$$K_0(X)_{\mathbb{Q}} \simeq \oplus_p Ch^p(X)_{\mathbb{Q}}$$
identificando la teoría racional de Chow con la teoría K algebraica racional, por lo que la conjetura de Hodge puede reformularse equivalentemente diciendo que el mapa
$$K_0(X)_{\mathbb{Q}} \to \oplus_p Hdg^p(X)_{\mathbb{Q}}$$
es suryectiva. Ahora, la modificación propuesta consiste en modificar $K_0(X)$ a un tipo diferente de teoría K $K^{an}_0(X)$ que tiene en cuenta la naturaleza analítica de $\mathbb{C}$ . Más adelante describiré con más precisión qué es esta teoría K analítica, pero por ahora permítanme tomarla como una caja negra. La K-teoría habitual mapea a la K-teoría analítica, y el mapa anterior se extiende a un mapa
$$K^{an}_0(X)_{\mathbb{Q}} \to \oplus_p Hdg^p(X)_{\mathbb{Q}}.$$
Entonces la forma débil de la conjetura de Hodge modificada es que este mapa es suryectivo. Evidentemente, esta forma modificada es estrictamente más débil que la conjetura de Hodge habitual. Pero admite un refuerzo, en una dirección diferente. Recordemos que el mapa de clase de ciclo habitual de $Ch^p(X)$ a $Hdg^p(X)$ en realidad factoriza a través de un objetivo más refinado, el grupo de cohomología de Deligne $H^{2p}(X;\mathbb{Z}(p))$ que es una extensión de $Hdg^p(X)$ por el jacobiano intermedio de Griffiths. (Esta cohomología de Deligne es esencialmente la versión "derivada" de la definición de las clases de Hodge). Ahora bien, se sabe que la conjetura de Hodge falla a nivel de la cohomología de Deligne, y de hecho esto obstruye algunos métodos inductivos para intentar demostrar la conjetura de Hodge por inducción sobre la dimensión y utilizando secciones de hiperplanos (véase la sección 3 de http://publications.ias.edu/sites/default/files/hodge.pdf ). Sin embargo, la situación mejora conjeturalmente al pasar a la teoría K analítica. Al igual que con el mapa habitual de la clase de ciclos a los ciclos de Hodge, el mapa refinado de la clase de ciclos a la cohomología de Deligne también se extiende a un mapa de la teoría K analítica
$$K^{an}_0(X)_{\mathbb{Q}} \to \oplus_p H^{2p}(X;\mathbb{Q}(p)),$$
y conjeturamos que este mapa no es sólo suryectivo, sino un isomorfismo. De hecho, también se puede hacer un mapa análogo a partir de $K^{an}_i(X)_{\mathbb{Q}}$ para cualquier $i\in\mathbb{Z}$ con valores en $\oplus_p H^{2p-i}(X;\mathbb{Q}(p))$ e incluso conjeturamos que se trata de un isomorfismo para todo $i$ .
Para terminar quiero decir algo sobre lo que es esta teoría K analítica, pero antes, una observación aleccionadora: una de las razones por las que la gente se preocupa realmente por la conjetura de Hodge es que produce datos algebraicos fuertes (ciclos algebraicos) a partir de datos topológicos/analíticos más bien débiles (clases de Hodge). La conjetura de Hodge modificada no hace esto: produce datos analíticos en lugar de datos algebraicos. Pero quizá ofrezca una nueva perspectiva de la conjetura de Hodge: si la conjetura de Hodge modificada es cierta, entonces la conjetura de Hodge habitual equivaldría esencialmente a la afirmación de que el mapa de comparación $K_0(X) \to K^{an}_0(X)$ es suryectiva en componentes conectados, es decir, cualquier clase analítica de teoría K puede deformarse continuamente en una clase algebraica de teoría K. Además, la conjetura modificada se ajusta al espíritu de la conjetura original de Hodge, en el sentido siguiente: las clases de ciclo, o algebraicas $K_0$ pueden considerarse una especie de fuente universal para las clases de cohomología, y la conjetura de Hodge viene a decir que las clases de Hodge dan clases universales. Del mismo modo, la conjetura de Hodge modificada dice que, en cierto sentido, la cohomología de Deligne es una teoría de cohomología universal para espacios analíticos sobre los números complejos. Así que no nos "falta" ninguna teoría de cohomología; la teoría de Hodge realmente lo tiene todo. Por eso me interesa la afirmación, no porque esté relacionada con la conjetura tradicional de Hodge. Sólo quiero ver si nos estamos perdiendo algo. Si nos estamos perdiendo algo, entonces la conjetura de Hodge modificada será errónea, y es de esperar que la teoría K analítica nos indique exactamente qué es lo que nos estamos perdiendo.
Ahora, sobre la definición de teoría K analítica. Encaja en el marco de la notable extensión de Alexander Efimov del alcance de la teoría K algebraica. Normalmente, la teoría K algebraica se define en términos de categorías pequeñas, como la categoría de haces vectoriales. Efimov dice que esto es un error, y que deberíamos pensar en ella como un invariante de categorías grandes, como la categoría de las láminas cuasicoherentes. (En realidad, hay que trabajar con los análogos derivados de éstas, a saber, los complejos perfectos y las láminas cuasicoherentes derivadas, pero permítanme que obvie este punto a efectos de esta explicación ya demasiado larga...). Ahora bien, esto parece una distinción académica, porque las categorías pequeñas y grandes se determinan mutuamente, pasando a objetos Ind en un sentido y a objetos compactos en el otro. Pero la cuestión es que hay categorías grandes que son no Ind-categorías de categorías pequeñas, pero para las que la teoría K algebraica todavía puede, mágicamente, ser definida, y con básicamente todas las mismas propiedades formales que en el contexto clásico más restrictivo. Son las llamadas dualizable categorías estudiadas por Lurie. Resulta que estas cosas están por todas partes una vez que sabes buscarlas, y creo que es importante sentirse muy cómodo con estas bestias no generadas compactamente...
De todos modos, existe una categoría dualizable, no compactamente generada, de topología $\mathbb{C}$ -espacios vectoriales, llamémoslo $Mod^{an}(\mathbb{C})$ (formalmente es una cierta subcategoría completa de condensadas derivadas $\mathbb{C}$ -), y podemos construir una teoría de láminas (derivadas) cuasicoherentes sobre $X$ donde todos los espacios vectoriales subyacentes son objetos de $Mod^{an}(\mathbb{C})$ en lugar de la categoría habitual (más pequeña) de abstracto $\mathbb{C}$ -espacios vectoriales. Tomamos la K-teoría de Efimov de esta categoría de gavilla cuasicoherente y la llamamos $K^{an}(X)$ . Lo último que hay que explicar es en qué consiste esta categoría $Mod^{an}(\mathbb{C})$ es. Resulta que se puede describir desde una perspectiva de análisis funcional clásico: sus objetos básicos (que generan todo lo que está bajo colimits dentro de condensada derivada $\mathbb{C}$ -) son los colímites secuenciales de (digamos) espacios de Hilbert a lo largo de mapas de transición inyectivos que son operadores compactos, con valores singulares que decaen rápidamente. Se trata de una clase un tanto oscura de espacios duales de Frechet, pero realmente nos viene impuesta por las consideraciones abstractas de la teoría de Efimov, y no creo que haya otra opción que esta precisa que debería funcionar.
En resumen, sustituimos los haces vectoriales habituales por algunas bestias analíticas más nebulosas descritas mediante análisis funcional, y la esperanza es que este cambio haga que la teoría K coincida con la teoría de cohomología más refinada procedente de la teoría de Hodge.
