Sea $B$ sea la esfera de unión en $R^3$ . Entonces, ¿cuál es el valor de
$$\iint_B(x^2+2y^2-3z^2 )\,dS$$
sobre la superficie $B$ ?
He sustituido el valor de $z^2$ como $1-x^2-y^2$ y luego integramos la función resultante sobre la proyección $x^2+y^2=1$ .
¿Me equivoqué al hacerlo?
Independientemente de cómo decidas calcular la integral, aquí tienes una forma de hacerlo utilizando la formulación de la integral de superficie para que puedas comparar tu solución.
$$\iint_B(x^2+2y^2-3z^2)\,\mathrm dS$$
Parametrice $B$ por la función vectorial,
$$\mathbf s(u,v)=\langle\cos u\sin v,\sin u\sin v,\cos v\rangle$$
con $0\le u\le2\pi$ y $0\le v\le\pi$ . Entonces
$$\mathrm dS=\left\|\frac{\partial\mathbf s}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf s}{\partial v}\right\|\,\mathrm du\,\mathrm dv=\sin v\,\mathrm du\,\mathrm dv$$
La integral se convierte entonces en
$$\int_{v=0}^{v=\pi}\int_{u=0}^{u=2\pi}(\cos^2u\sin^2v+2\sin^2u\sin^2v-3\cos^2v)\sin v\,\mathrm du\,\mathrm dv=0$$
No estoy seguro de lo que quiere decir con "integrar por encima de la proyección", pero he aquí algunos datos a tener en cuenta:
1. $\;\iint(x^2+2y^2-3z^2 )\,dS = \iint x^2\,dS + 2\iint y^2\,dS-3\iint z^2\,dS$
$\iint y^2\,dS$ y $\iint z^2\,dS$ en $B$ son iguales a $\iint x^2\,dS$ sobre una rotación adecuada de $B$ (rotaciones diferentes para las dos integrales).
Las esferas son invariantes bajo rotación.
Cuando en clase de matemáticas ves una integral que parece realmente complicada, hay un 10% de posibilidades de que la respuesta sea cero.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
