¿Qué es intuitivamente un grupo reductor?

Question

Estoy estudiando Teoría de invariantes geométricos y me pregunto cómo debo entender el grupo algebraico linealmente reductor. Decimos que un grupo algebraico afín $G$ es linealmente reductiva si toda dimensión finita $G$ -los módulos son semisimples.

No estoy seguro de si los grupos linealmente reductores son lo mismo que los grupos reductores, que se definen como grupos algebraicos. $G$ sobre campo algebraicamente cerrado tal que el radical unipotente de $G$ es trivial. Pero esta definición sigue estando más allá de mi intuición.

¿Hay alguna buena manera de entender los grupos reductores (linealmente)? Estaría especialmente bien que los grupos reductores (Lie) se pudieran caracterizar en geometría.

Answer 1

"Linealmente reductor" y "reductor" son equivalentes cuando el campo base es de característica cero, pero para característica primera son diferentes -- de hecho, en característica primera, los únicos grupos conectados linealmente reductores son los toros algebraicos, aunque por ejemplo $\operatorname{GL}_n$ es reductora.

Existe una buena caracterización de los grupos reductores sobre $\mathbb{C}$ son precisamente las complejificaciones de los grupos de Lie compactos conexos. Más concretamente: todo grupo de Lie compacto conexo es en realidad un grupo algebraico real, y todo homomorfismo suave de grupos de Lie compactos es algebraico. Podemos entonces observar los puntos de este grupo sobre $\mathbb{C}$ obteniendo así un grupo algebraico complejo. Por ejemplo, la complejación de $U(n)$ es $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ -- esto puede verse a nivel de las álgebras de Lie de $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}) = \mathfrak{u}(n) \oplus i\mathfrak{u}(n)$ . Resulta que en realidad cada grupo reductor complejo surge de esta manera de un subgrupo compacto maximal, y esto da una equivalencia entre la categoría de grupos Lie compactos conectados (con homomorfismos suaves) y la categoría de grupos reductores complejos (con homomorfismos algebraicos).