Supongamos que tengo un conjunto incontable $S$ que obtuve de forma no constructiva, como del Axioma de Elección. En mi ejemplo particular estoy pensando en una base para $\mathbb R$ como espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ .
Me gustaría eliminar incontables elementos en un conjunto $T$ pero de una forma que deja atrás incontables elementos. Pero como no sé nada en particular sobre los elementos específicos de $S$ No sé cómo utilizar el Axioma de Especificación o algún otro método para estar seguro de que puedo hacer correctamente un subconjunto del tamaño adecuado. Por ejemplo, podría intentar $\{s \in S : s \geq 0\}$ pero mi base no tiene por qué tener elementos negativos, ¿verdad? O podría tener todos los elementos negativos o una mezcla. Si yo sólo quería $T$ ser contable o finito podría extraer un solo elemento de $S$ , digamos $s_1$ y, a continuación, dibujar $s_2$ de $S \backslash \{s_1\}$ y así sucesivamente (¿verdad?). Pero si quiero $T$ ser incontable esto no parece ayudar.
Entonces, ¿puedo decir simplemente $T$ sea un subconjunto incontable de $S$ tal que $S \backslash T$ también es incontable"? ¿Es algo que puedo decir sin más? ¿O tengo que inventar una fórmula $\phi$ de forma que pueda utilizar Especificación a través de $\{s\in S : \phi(s)\}$ ? Para un conjunto como $[0,2]$ No tengo ningún problema en hacerlo porque $\{s \in [0,2] : s \leq 1\}$ hace el truco, y como sé que es posible de alguna manera no me preocupa no exhibir una fórmula particular $\phi$ . Pero con un conjunto del que no conozco ni un solo elemento, no sé muy bien qué hacer.
¿Puedo demostrar que $S$ debe tener un subconjunto tal $T$ ? Si no, entonces tendría un conjunto incontable donde cada subconjunto es contable o cocontable. ¿Hay algún problema?
