Calcular $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\sin(\sin...(\sin(x)..)$

Question

Hoy me ha pedido un amigo que calcule un límite y estoy teniendo problemas con la pregunta.

Denote $\sin_{1}:=\sin$ y para $n>1$ defina $\sin_{n}=\sin(\sin_{n-1})$ . Calcule $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\sin_{n}(x)$ para $x\in\mathbb{R}$ (la respuesta debe estar en función de $x$ )

Mis pensamientos:

Basta con encontrar el límite para $x\in[0,2\pi]$ y es fácil encontrar el límite en $0,2\pi$ por lo que necesitamos encontrar el límite para $x\in(0,2\pi)$ .

Si $[a,b]\subset(0,\pi)$ o $[a,b]\subset(\pi,2\pi)$ lo tenemos que entonces $$\max_{x\in[a,b]}|\sin'(x)|=\max_{x\in[a,b]}|\cos(x)|<\lambda\leq1$$ de ahí el mapa $\sin(x)$ es un mapa de contracción.

Sabemos que existe un punto fijo único, pero como $0$ es un punto Deduzco que para cualquier $x\in(0,2\pi)$ s.t $x\neq\pi$ tenemos que $$\lim_{n\to\infty}\sin_{n}(x)=0$$

Así que tengo un límite de la forma " $0\cdot\infty$ " y no puedo entender ninguna forma de abordarlo.

¿Alguien puede sugerir una manera de encontrar ese límite?

Nota: No estoy seguro de las etiquetas, por favor cambiadlas si lo veis conveniente.

Answer 1

Me ocuparé del caso cuando $x_0 \in (0,\pi)$ Si $x_0 \in (0,\pi)$ y $x_{n+1} = \sin x_n $ para $ n \geq 0$ entonces $x_1 \in (0,1] \subseteq (0,\pi/2)$ y es fácil ver que a partir de ese punto, $0<x_{n+1}<x_{n}$ y por lo tanto $x_n$ converge a un punto fijo de $\sin$ que tiene que ser $0$ .

Tenemos $$ \dfrac{1}{\sin^2 x} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x-\sin x}{x^3} \times \dfrac{x}{\sin x} \times \left(\dfrac{x}{\sin x} + 1\right) \to \dfrac{1}{3}$$ como $x \to 0$ .

Esto implica, poniendo $x = x_n$ $$ \dfrac{1}{x_{n+1}^2} - \dfrac{1}{x_n^2} \to \dfrac{1}{3}.$$

La media Ceasaro de arriba, $$ \dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\dfrac{1}{x_{i+1}^2} - \dfrac{1}{x_i^2}\right) = \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{x^2_{n}} -\dfrac{1}{x^2_0}\right)$$ también debe converger a $\dfrac{1}{3}$ y puesto que $x_n > 0$ , $ \sqrt{n} x_n \to \sqrt{3}$ .

Answer 2

De Bruijn demuestra esta asíntota para los iterados del seno :

$$ \sin_n x \thicksim \sqrt{\frac{3}{n}} $$

Ahora sí:

$$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \sin_{n}{x} $$

Tenemos $n\to\infty$ .

$$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \sqrt{\frac{3}{n}} $$

$$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{3} = \sqrt{3} $$

Es interesante observar que este resultado es independiente de $x$ . (Como señala De Bruijn, G. Polya y G. Szegu demuestran un resultado más débil, a saber, exactamente este límite).

Esto sólo es cierto para $x \in \left(0, \pi\right)$ . Para $x = 0$ el límite es $0$ . Para $x = \pi$ el límite es el mismo, $0$ .

Para $\sin x$ negativo, el límite pasa a $-\sqrt{3}$ . A continuación se presenta una demostración. Nótese que la función seno es impar, es decir:

$$ \sin_n (-x) = -\sin_n x$$

Ahora sí:

$$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \sin_n (-x) $$

O:

$$ -\lim_{n\to\infty} \sqrt{n} \sin_n (x) $$

Que sabemos que es $\sqrt{3}$ así que..:

$$ -\sqrt{3} $$

Como resumen final ( $k \in \mathbb{Z}$ ):

$$ \begin{cases} 0 & \mbox{if } x = k\pi \\ -\sqrt{3} & \mbox{if } x \in (2 \pi k - \pi, 2 \pi k) \\ \sqrt{3} & \mbox{if } x \in (2 \pi k, \pi + 2 \pi k) \\ \end{cases} $$