Convergente de una serie

Question

Para esta pregunta, puedo demostrar con éxito que la serie de |sin(n^0.5)|/n^1.5 converge, pero no entiendo por qué la solución sólo puede decir " |sin(n^0.5)|/n^1.5 converge, por lo tanto la serie original (-1)^n sin(n^0.5)|/n^1.5 converge absolutamente." ¿Puede alguien explicarme por qué la solución puede decir que el caso negativo converge directamente, pero no es necesario utilizar la prueba de la serie alternativa?

Answer 1

Si una serie converge absolutamente, entonces es una serie convergente. La prueba se basa en el criterio de Cauchy para la convergencia de la serie.

Answer 2

En realidad, la prueba de la serie alterna no es aplicable en este caso porque no se sabe cuál es el signo de $\sin(\sqrt{n})$ es. Sin embargo, la solución es simplemente utilizar la prueba de comparación. De este modo se eliminan tanto el $\sin$ y el factor de signo. Entonces, se utiliza la prueba integral o la prueba de la suma diádica junto con series geométricas si se quiere verificar que $\sum_{n\ge1} 1/{n^{3/2}}$ converge a un valor finito.

Answer 3

Usted puede escribir que $$ \left|\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\sin(\sqrt{n})}{n^{3/2}}\right|\leq \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin(\sqrt{n})}{n^{3/2}}\right|\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} $$ y su serie inicial es absolutamente convergente así es convergente, donde hemos utilizado el hecho de que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}} $ es convergente.