Identificación de operadores suaves con matrices rápidamente decrecientes

Question

En un artículo que estaba leyendo, se mencionaba que si $M$ es una variedad riemanniana cerrada, entonces fijando una base para $L^2(M)$ formado por las funciones propias del Laplaciano, el espacio de los operadores de suavizado en $L^2(M)$ puede identificarse con el álgebra de matrices $a_{ij}$ tal que

$$\sup_{i,j}i^k j^l |a_{ij}| <\infty$$

para todos $k,l\in\mathbb N$ .

Pregunta 1: ¿Podría alguien explicarme cómo puede hacerse esta identificación o indicarme alguna referencia?

Pregunta 2: ¿Puede hacerse lo mismo si $M$ no es compacto?

Answer 1

Se trata, por supuesto, de una larga historia que incorpora muchas vertientes, pero intentaré dar una rápida visión de conjunto. En primer lugar, como ocurre a menudo, es conveniente pasar a un marco más general. En tu caso, sería el de un operador autoadjunto no limitado $T$ en el espacio de Hilbert (aquí sería el Laplaciano, más adelante).

Se le puede asociar un espacio de Frechet $H^\infty(T)$ (la intersección de los dominios de las definiciones de sus potencias) y a $DF$ -espacio $H^{-\infty}(T)$ que están en dualidad. En el caso de los operadores diferenciales clásicos (los ejemplos más frecuentes se dan con los operadores laplaciano y de Schrödinger), el primero es un espacio de funciones de prueba, el segundo de distribuciones. Esto es una consecuencia bastante directa del teorema espectral (en la forma de que cualquier operador de este tipo puede representarse como uno de multiplicación por una función medible sobre un $L^2$ -espacio).

Si el espectro de $T$ es discreta y consiste en una secuencia $(\lambda_n)$ de valores propios tales que $|\lambda_n|$ es asintóticamente como $n^\alpha$ para algún positivo $\alpha$ la situación es especialmente transparente. $H^\infty$ y $H^{-\infty}$ son un espacio nuclear de Frechet y un espacio de Silva, respectivamente. Las funciones propias de $T$ forman una base para ambos espacios y son identificables con los espacios secuenciales $s$ y $s´$ de secuencias rápidamente decrecientes resp. lentamente crecientes a través de coeficientes.

Los operadores de suavizado, es decir, los operadores lineales continuos de $H^{-\infty}$ en $H^\infty$ se identifican con la versión de dos variables de $s$ de forma estándar.

Es clásico que el Laplaciano satisfaga esta condición en muchos casos, por ejemplo, en un colector cerrado, un colector compacto (con condiciones de contorno adecuadas -Dirichlet o Neumann), al igual que el operador de Schrödinger para funciones potenciales adecuadas. Las estimaciones necesarias de los valores propios reciben el nombre genérico de desigualdades de Weyl.

Sin embargo, no se pueden esperar estos resultados en el caso no compacto. Aquí el operador de Schrödinger es, quizá, más apropiado.