¿Es invariante la traza bajo permutación cíclica con matrices rectangulares?

Question

Trabajo con trazas de matrices. La traza se define para matrices cuadradas y hay algunas reglas útiles, por ejemplo $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ con $A$ y $B$ cuadrado, y más en general la traza es invariante bajo permutación cíclica.

Me preguntaba si la fórmula $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ se mantiene aunque $A$ y $B$ son rectangulares, a saber $A$ es $n$ -por- $m$ y $B$ es $m$ -por- $n$ .

He averiguado que si se completan las matrices implicadas para que sean cuadradas añadiendo entradas cero en los lugares correctos, la fórmula sigue funcionando... ¡pero quiero estar seguro de esto!

Answer 1

Sí, es cierto. Dejemos que $A$ ser un $n\times m$ y $B$ ser un $m \times n$ sobre el anillo conmutativo $R$ tenemos \begin{align*} \mathrm{tr}(AB) &= \sum_{i=1}^n (AB)_{ii}\\ &=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m A_{ij}B_{ji}\\ &= \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n B_{ji}A_{ij}\\ &= \sum_{j=1}^m (BA)_{jj}\\ &= \mathrm{tr}(BA) \end{align*} Así que puedes demostrar la fórmula calculando.

Answer 2

Sí, la invariancia cíclica se mantiene independientemente de las dimensiones de las matrices. La traza de un producto en cualquier orden es simplemente la suma de todos los productos de las entradas correspondientes.