Si una función tiene soporte compacto, ¿su serie de Fourier converge?

Question

Supongamos que $f$ es continua en $\mathbb{R}$ . Demuestre que $f$ y la transformada de Fourier $\hat{f}$ no pueden ser compatibles de forma compacta a menos que $f=0$ .

Sugerencia: Suponga $f$ es compatible con $[0,1/2]$ . Ampliar $f$ en una serie de Fourier en el intervalo $[0,1]$ y observa que, como resultado, $f$ es un polinomio trigonométrico.

He intentado solucionarlo siguiendo la pista. Supongamos que $f$ y $\hat{f}$ están compactamente soportados, entonces si seguimos la pista obtenemos $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}(n)e^{2\pi inx}.$$ Pero como $\hat{f}$ está compactamente soportado, para grandes $n$ , $\hat{f}(n)=0$ y obtenemos que $f$ es un polinomio trigonométrico, que no tiene soporte compacto. Sin embargo, mi pregunta es, para que esto funcione, necesitamos la identidad en lo anterior, que no está garantizada a menos que, por ejemplo $f$ es $C^1$ pero sólo tenemos eso $f$ es continua, ¿cómo puedo obtener el resultado? Agradecería enormemente cualquier ayuda.

He visto otras soluciones de este sitio web basado en el hecho de que $\hat{f}$ no es holomorfa, pero en este libro aún no se introducen las funciones holomorfas. Así que me pregunto si tal vez compactamente apoyado garantiza la convergencia de la serie de Fourier?

Answer 1

Incluso con la observación de H.H. Rugh, hay un problema con su prueba. Tenemos

$$f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\hat f (n)e^{2\pi i n t}$$

en $L^2[0,1],$ no en $L^2(\mathbb R).$ Todavía estamos bien, pero la cuestión es que $f$ es igual a un trig. poli $T$ a.e. en $[0,1].$ Esto implica $T=0$ en $[1/2,1],$ lo que es imposible para el trig. poli. $T$ a menos que $T \equiv 0.$

Answer 2

Si se ha informado sobre $L^2$ convergencia de las series de Fourier entonces tienes que $f(x)=\sum_n c_n e^{2\pi i n x}$ en $L^2([0,1]$ (y sólo un número finito de términos en la suma). Pero ambas partes son continuas y coinciden en un conjunto de medida completa. Por tanto, son idénticos. Dado que $f$ es idéntico a cero en $[\frac12,1]$ ambos deben ser cero. Sin $L^2$ (u holomorfo), no estoy seguro de cómo argumentar.