Diferenciación logarítmica de algunas funciones

Question

Dado $y=f(x)$ donde $f(x) $ es una función positiva, podemos escribir $\ln y = \ln f(x) $ . Ahora digamos que $f$ toma valores cero en determinados puntos de un intervalo. En estos puntos, el logaritmo natural de la función no está definido. Tomemos el ejemplo de $\sin(x) +1$ en $[\pi, 2\pi]$ . Toma valor cero en $3\pi /2 $ . En este punto, la tangente es horizontal, como vemos. Nosotros, sin embargo, no podemos determinar la pendiente de esta tangente haciendo diferenciación logarítmica porque la derivada en este punto es indeterminada.

Me he encontrado con un problema que me pide que utilice la diferenciación logarítmica para evaluar la derivada de $\sqrt{\frac{t}{t+1}}$ . Toma, $t=0$ está en el dominio de $y$ y no en el ámbito de $\ln y$ . ¿Cómo es este logaritmo diferenciable?

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Otro problema me pide que evalúe la derivada de $\tan(x) \sqrt{2x +1}$ utilizando la diferenciación logarítmica. El dominio consiste en todos $x \geq - 1/2$ y $x\neq (2n+1)\pi /2$ donde $n$ es un número entero. Para varios $x$ en el dominio, la función toma valores negativos en varios puntos. ¿Cómo puede ser logarítmicamente diferenciable?

Answer 1

Normalmente no se necesita la diferenciación logarítmica a menos que se obtenga una expresión de la forma $\{f(x) \}^{g(x)} $ donde ambos $f, g$ no son constantes. Dado que $g$ se espera que sea diferenciable, también es continua y además al no ser constante toma valores irracionales y entonces la expresión $f^{g} $ sólo se define cuando $f$ es positiva y toda la expresión es positiva.

Cualquier otro uso de la diferenciación logarítmica (como para productos y cocientes complicados o expresiones radicales) puede demostrarse equivalente a las reglas habituales de diferenciación (producto/cociente/regla de la cadena). Por lo tanto, hay que entender que, en estos casos, el uso de la diferenciación logarítmica es más bien un recurso técnico para simplificar el cálculo, y que también se puede obtener el mismo resultado con otros métodos.

Es mejor ilustrar mi punto de vista con un ejemplo real. Consideremos la regla habitual del producto $$(uv) '=uv' +u'v$$ y dividiéndolo por $uv$ obtenemos $$\frac{(uv) '} {uv} =\frac{u'} {u} +\frac{v'} {v} $$ ou $$(\log uv)' =(\log u) '+(\log v)' $$ lo que es de esperar porque $\log uv=\log u +\log v$ . Aquí se puede ver que el logaritmo no nos aporta nada nuevo excepto un simple mecanismo para recordar la regla del producto. Lo mismo ocurre con la regla del cociente o la regla de la cadena utilizada para los radicales. Y no importa si el argumento del logaritmo es positivo o no.

Answer 2

Para su primer ejemplo: $$\ln(y)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{t}{t+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\ln(t)-\ln(t+1)\right)$$ entonces $$\frac{y'}{y}=\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)$$ para la función $$y=\sqrt{\frac{t}{t+1}}$$ y $$t\geq 0$$ es la primera derivada $$y'=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{t}{t+1}}\right)^{-1/2}\cdot \frac{1}{(t+1)^2}$$ aquí también debe ser $$t>0$$