¿Cómo estudiar teoría del caos/sistemas dinámicos/dinámica de fluidos en la escuela de posgrado con una formación en física?

Question

Me dirijo a ustedes porque necesito ayuda sobre la mejor manera de estudiar algo relacionado con la teoría del caos, los sistemas dinámicos y la dinámica de fluidos en la escuela de posgrado.

Actualmente estoy en mi tercer año de física y mi primera pregunta sería ¿qué cursos sería especialmente pertinente que eligiera como optativas? Hasta ahora, siempre que he tenido la oportunidad, he tomado cursos de matemáticas como optativas, y también estoy tomando la versión "de matrícula de honor" de los cursos de matemáticas que se ofrecen en mi universidad, que están dirigidos a licenciados en Matemáticas y licenciados en Física Matemática. No sólo me interesan mucho las matemáticas, sino que ahora me doy cuenta de que una buena formación matemática es esencial si quiero seguir en los campos mencionados. Pero, ¿qué cursos de matemáticas serían especialmente relevantes si quiero dedicarme a los campos mencionados?

Hasta ahora he tomado los siguientes cursos de matemáticas: Cálculo I y II con honores, Cálculo Avanzado I y II con honores, Álgebra Lineal I y II con honores, Introducción a la Teoría de Grupos, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Análisis Complejo con honores. Estoy tomando Álgebra Lineal III y EDP próximo trimestre, y también he oído topología es necesario si quiero entrar en los campos que he mencionado. ¿Es esto cierto? ¿Qué más necesitaría?

Soy consciente de que probablemente no podría estudiar estos campos desde una perspectiva puramente matemática debido a mi formación, pero espero poder hacerlo desde una perspectiva mixta matemática/física.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

edit: Para cualquiera que lea esto años después de la creación del hilo, en realidad me cambié a matemáticas en mi último año de licenciatura, ahora estoy haciendo un doctorado en Matemáticas Puras, y después de tomar los cursos requeridos espero empezar con la investigación este otoño (2016). Sigo con ganas de estudiar sistemas dinámicos, pero probablemente será teoría ergódica/dinámica simbólica/dinámica compleja.

Answer 1

Hay varias cosas que podrías estudiar.

La topología es definitivamente imprescindible, sobre todo cuando se empieza a hablar de bifurcaciones y parece que tienes la oportunidad de aprovecharla. Podría ser un buen comienzo, sobre todo como estudiante de grado.

A largo plazo, ya que vienes de la física, puede que quieras aprender mecánica hamiltoniana y empezar a estudiar cosas como sistemas integrables, teoría de perturbaciones y la estabilidad del sistema solar, que es algo que probablemente harás en algún momento. (Además, esto es históricamente cómo empezó el tema). Puede obtener algunos de eso en una clase de licenciatura avanzada sobre mecánica clásica (al menos deberían tocar la mecánica lagrangiana), pero probablemente no mucho. Un excelente punto de partida es el libro de V.I. Arnold Métodos matemáticos de la mecánica clásica . Otro libro muy bueno, y pesado en matemáticas, es el de Goldstein Mecánica clásica . Ambos se consideran textos de nivel universitario, pero parece que puedes manejarlos.

En cuanto a las matemáticas, si aún no has recibido clases de análisis real, deberías pensártelo. Si lo has hecho, la teoría de medidas podría ser el siguiente paso lógico. La geometría diferencial también podría ayudar, aunque quizá sea un poco ambicioso y, además, Arnold la desarrolla sobre la marcha. Si no consigues esto en la licenciatura, puede que no sea un gran problema, pero sin duda deberías pensar en todas estas cosas en la escuela de posgrado.

Algunas de las grandes armas que puede tratar de entender son el Teorema KAM y cosas como el Teorema de Poincare-Bendixon . Si no recuerdo mal, Strogatz ofrece un excelente análisis de este último aspecto.

Tan pronto como empiezas a hablar de atractores extraños, la posibilidad de fractales y luego la topología y la teoría de la medida serán útiles, para poder hablar de cosas como la dimensión fractal de su cuenca de atracción. Uno de mis ejemplos favoritos es el péndulo magnético que tiene maravillosamente extrañas propiedades .

Si se ofrece, podrías considerar hacer un curso de Mecánica Estadística, donde con suerte te introducirías en la hipótesis ergódica . En este contexto, es posible que desee ver cosas como el Teorema de recurrencia de Poincare aplicado, por ejemplo, a un gas en una caja. Esto podría darte una idea de cómo las cuestiones de la teoría de la medida y la ergodicidad pueden entrar en los sistemas dinámicos. También puede consultar la obra de Arnold Problemas ergódicos de la mecánica clásica .

En general, Scholarpedia es una fuente excelente sobre todos estos temas: es como la wikipedia del crack matemático. Tienen toda una sección dedicado a los sistemas dinámicos, con artículos escritos por personas que han realizado importantes contribuciones al tema.

Answer 2

He aquí algunos puntos en los que puede pensar y revisar.

Dinámica no lineal:

Cursos de licenciatura en Cálculo y/o Ecuaciones Diferenciales, Dinámica, Álgebra Lineal, Vibración Mecánica

Textos:

Steven Strogatz, Dinámica no lineal y caos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Westview Press, 1.ª edición (Edición: a partir de 2014 existe una 2.ª edición que contiene aplicaciones adicionales).

Holger Kantz y Thomas Schreiber, Nonlinear Time Series Analysis, segunda edición, Cambridge University Press.

Introducción a los sistemas dinámicos, D. K. Arrowsmith, C. M. Place

Introducción a los sistemas dinámicos no lineales aplicados y al caos, Stephen Wiggins

Bloc de notas Wiki

Textos opcionales sugeridos:

(1) Julien C. Sprott, Chaos and Time-Series Analysis, Oxford University Press, 2003,

(2) Lawrence N. Virgin, Introduction to Experimental Nonlinear Dynamics: A Case Study in Mechanical Vibration, Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 2000, y

(3) Caos en Ecología: Experimental Nonlinear Dynamics, Academic Press, Elsevier Science, 2003.

Consulte Sistemas dinámicos no lineales y caos Consulte MediaWiki Sistemas dinámicos no lineales y caos . Consulte los materiales de lectura enumerados para hacerse una idea de los requisitos previos que debe tener en cuenta.

Dinámica de fluidos Clases de Dinámica, Cálculo III, Ecuaciones diferenciales

Libros de referencia (orientados a las matemáticas y hay muchos otros)

Hidrodinámica teórica por L.M. Milne-Thomson

Introducción a la mecánica de fluidos teórica por S. Childress

Mecánica de fluidos de Kundu y Cohen

Mecánica fundamental de los fluidos por I. G. Currie

Introducción matemática a la mecánica de fluidos por Chorin y Marsden

Dinámica de fluidos para físicos por T. E. Faber

Dinámica física de fluidos por D. J. Tritton

Saludos