Necesito ayuda: Una función f : R R se dice que está acotada en un punto $x_0$ siempre que haya números positivos $\epsilon$ y M de modo que $\mid f(x)\mid$ < M para todo x $\in (x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon)$ . Demostrar que el conjunto de puntos en los que una función está acotada es abierto... Esto es lo que he intentado.
Prueba: Sea E el conjunto de puntos acotados de la función f : R R . Sea $x_0\in E$ . Entonces por la definición de puntos acotados, para algunos números positivos, $\epsilon$ y M, $\mid f(x)\mid$ < M para todo x $\in (x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon)$ . Sea $y_0$ sea un punto arbitrario en $(x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon)$ . Entonces existe c tal que el intervalo $(y_0-c,y_0+c)\in (x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon)$ . WLOG, que $y \in (y_0-c,y_0+c)$ entonces y también está en $(x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon)$ . Así $\mid f(y) \mid$ < M. Por lo tanto, $y_0$ es un punto acotado. Por lo tanto $y_0 \in E$ . Dado que nuestra elección de $y_0$ era arbitrario, cada punto del intervalo $(x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon)$ está en E. Por lo tanto $(x_0 \epsilon, x_0 + \epsilon) \subset E.$ Por lo tanto $x_0$ es un punto interior por lo que todo punto de E es un punto interior de E. Así pues, por la definición de conjunto abierto, E es abierto.
¿QED...?
