En $g(v_n) \longrightarrow g(0)$ para todos $v_n \text{s.t.} ||v_{n+1}|| \leq ||v_n||$ implica $g$ continuos en $0$ ?

Question

La pregunta se resume más o menos en el título:

Sea $V,W$ sean espacios vectoriales normados y $$ g: V \to W$$ .

Supongamos que g cumple $$g(v_n) \longrightarrow g(0) $$ para todas las secuencias $v_n$ tal que $$v_n \longrightarrow 0$$ y $$||v_{n+1}|| \leq ||v_n||.$$

¿Implica esto la continuidad de $g$ en $0$ ?

Intuitivamente, esto debería ser cierto, pero estoy buscando una prueba (o contraejemplo). Por supuesto, para cualquier secuencia $v'_n \longrightarrow 0$ podemos seleccionar una subsecuencia que cumpla el requisito anterior y tenga el límite $g(0)$ . Pero, ¿es esto suficiente para garantizar la convergencia? ¿Necesitamos restricciones adicionales en los espacios $V,W$ para que esto se mantenga?

Answer 1

Tome una subsecuencia arbitraria $\{g(v_{n_k})\}_k$ y luego elegir una subsecuencia $\{v_{n_{k_l}}\}_l$ tal que $\| v_{n_{k_{l+1}}} \| \leq \| v_{n_{k_{l}}} \|$ . Utilizando los supuestos podemos deducir $g(v_{n_{k_l}}) \to g(0)$ . ¿Por qué esto implica $g(v_n) \to g(0)$ ¿Ya?

Answer 2

Supongamos que $v_n \rightarrow 0$ y $g(v_n) \nrightarrow g(0)$ . Entonces existe una subsecuencia $v_{k_n}$ s.t. $||g(v_{k_n}) - g(0)|| \ge \varepsilon$ para algunos $\varepsilon > 0$ . Sea $u_n$ denota la secuencia $v_{k_n}$ . Existe una subsecuencia $u_{m_n}$ s.t. $||u_{m_{n+1}}||\le ||u_{m_n}||$ . Entonces $g(u_{m_n}) \rightarrow g(0)$ . Pero ya se sabe que $||g(u_{m_n}) - g(0)|| \ge \varepsilon$ . Esta contradicción demuestra que $g(v_n) \rightarrow g(0)$ para todos $v_n \rightarrow 0$ . Así, $g$ es continua en $0$ .