Existencia de cierta factorización del mapa simplicial

Question

La siguiente es una imagen de una prueba de Hovey's Categorías de modelos :

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¿Cómo sabemos exactamente que $s\restriction_{\partial{\Delta[n]}}$ factores a través de $X_n$ ?

Desde $\partial{\Delta[n]}$ sólo tiene un número finito de símplices no degenerados, es $\lambda$ -pequeño para cualquier límite cardinal $\lambda$ pero no estoy seguro de cómo esto (al menos directamente) implica la factorización que queremos.

Answer 1

Una forma más rigurosa de afirmar lo que he dicho en mi comentario es utilizar el $(n-1)-$ functor esqueleto $sk_{n-1}$ .

Sabemos que $sk_{n-1} X_n \rightarrow sk_{n-1} L$ es un isomorfismo de conjuntos simpliciales. También sabemos que $sk_{n-1} \partial \Delta^n = \partial \Delta^n$ .

Así que cualquier mapa $s : \partial \Delta^n \rightarrow L$ da un mapa $sk_{n-1} s : \partial \Delta^n \rightarrow sk_{n-1} L$ lo que da un mapa $s': \partial \Delta^n \rightarrow sk_{n-1} X_n$ porque $sk_{n-1} L$ y $sk_{n-1} X$ son isomorfas. Existe una inclusión natural $i:sk_{n-1} X_n \rightarrow X_n$ que le da la elevación deseada $i \circ s': \partial \Delta^n \rightarrow X_n $ . La unicidad de la elevación proviene de la inyectividad de $X_n \rightarrow L$ en $(n-1)-$ símplices e inferiores.