Referencias/literatura para pushouts en la categoría de monoides conmutativos? [ed. - amalgamas]

Question

Se trata más bien de una solicitud de indicaciones para relevante literatura que una pregunta en sí misma. Estoy estudiando un artículo que utiliza una especie de construcción iterada para obtener un monoide conmutativo con ciertas propiedades deseadas. La construcción particular de "pegado" que los autores quieren hacer se maneja por medios bastante directos, y aunque eso está probablemente bien para este problema en particular, sería bueno ponerlo en el contexto adecuado.

Mi copia de la "Introducción a la teoría de semigrupos" de Howie discute la noción general de "amalgamas de semigrupos" pero no parece decir nada sobre los empujes en la categoría más pequeña de los monoides conmutativos. Lo más cercano que puedo encontrar a través de MathSciNet es un artículo de Howie de 1968, que parece trabajar en la categoría de semigrupos conmutativos, pero no puedo conseguir una copia en este momento.

En fin: Espero que alguien que me lea sepa de un lugar sensato donde buscar un resumen de algunos resultados generales. (La cuestión es si las piezas constitutivas se "incrustan" en el empuje, no la mera existencia del empuje).

EDITAR: Reflexionando un poco más, aunque los pushouts son indudablemente relevantes, para los propósitos del documento que estoy viendo, la fidelidad de la incrustación es más importante que la propiedad universal de los pushouts. Así que voy a cambiar el título de la pregunta para reflejar esto. También creo que, aunque las sugerencias que se hacen a continuación han sido útiles en un sentido amplio, no abordan del todo el caso que necesito, lo que podría ser simplemente una ilustración de que dicho caso se encuentra entre los dos extremos más comúnmente considerados por los teóricos de los semigrupos.

Answer 1

Arthur Ogus escribió un libro sobre geometría logarítmica, que al parecer se publicará pronto, y hay un versión preimpresa en su página web. El primer capítulo trata sobre los monoides conmutativos, y en particular, tiene un poco sobre los pushouts (a partir de la página 12, y puedes decirle a tu ordenador que busque otras instancias de la palabra).

Los pushouts generales pueden ser bastante patológicos, pero se pueden decir cosas interesantes si los monoides satisfacen algunas propiedades como la integralidad. Por ejemplo, si todos los monoides son integrales y uno de los monoides es un grupo, entonces el pushout es integral, y su terminación de grupo es el pushout de las terminaciones de grupo. Esto reduce el ejemplo de Reid a un cálculo con grupos.

Answer 2

No estoy seguro de lo que buscas exactamente, pero aquí hay un ejemplo algo extraño de un pushout en monoides conmutativos que encontré recientemente:

$\begin{matrix} \mathbb{N}&\to&\mathbb{Z}\\\\ \downarrow&&\downarrow\\\\ 0&\to&0 \end{matrix}$

Esto no puede ocurrir en grupos abelianos (más precisamente un cuadrado de empuje con 0 en la parte inferior izquierda cuya flecha superior es un monomorfismo es también un cuadrado de empuje).

Answer 3

No conozco una referencia, pero en caso de que no encuentres ninguna, aquí tienes una posible estrategia para averiguarlo tú mismo.

Dejemos que $F$ sea el functor de monoides conmutativos a grupos abelianos que adjunta a cada elemento los inversos formales. Entonces $F$ es adjunto a la izquierda del funtor de olvido $U$ Así se conservan los colimits y, en particular, los pushouts. Creo que es el caso que para un monoide conmutativo $M$ el mapa canónico $M \to UF(M)$ es inyectiva si $M$ es cancelable, es decir $m + n = m' + n$ implica $m = m'$ (para $m, m', n \in M$ ). Esto podría permitirle transferir los resultados conocidos sobre los empujes de los grupos abelianos a la categoría de los monoides conmutativos.

Answer 4

¿Has mirado el libro Monoides, actos y categorías por Mati Kilp, Ulrich Knauer y Alexander V. Mikhalev? En el capítulo II se habla de los empujones.

Answer 5

Los pushouts son expresables en términos de coproductos y coigualadores (al igual que el resto de colimits).

Dado que los monoides conmutativos son lo mismo que $\mathbb{N}$ -semimódulos, el coproducto $A+B$ es la suma directa con los pares $(a,b)$ como elementos junto con las inyecciones $i : A \to A+B$ enviando $a \mapsto (a,0_B)$ y $j : B \to A+B$ enviando $b \mapsto (0_A,b)$ .

El empuje de $A \stackrel{f}{\leftarrow} X \stackrel{g}{\rightarrow} B$ es entonces el coigualador de los mapas paralelos $X \stackrel{f}{\rightarrow} A \stackrel{i}{\rightarrow} A+B$ y $Y \stackrel{g}{\rightarrow} B \stackrel{j}{\rightarrow} A+B$ . Siguiendo la receta de Establecer dado en MacLane, CWM, Sec. III.3, el coequalizador es $(A+B)/E$ donde $E \subseteq (A+B) \times (A+B)$ es el menos congruencia monoide relación que contiene pares $\langle i(f(x)), j(g(y)) \rangle$ para todos $x \in X$ .

Salvo la sustitución de "relación de equivalencia" por "relación de congruencia monoide", hay nada misterioso aquí.

Nota añadida: Si se trabajara con monoides no conmutativos, el coproducto sería el producto gratuito en lugar de la suma directa, pero todo lo demás sería igual].