El Borel $\sigma$ -del producto contable de segundos espacios topológicos contables es el producto de los espacios de Borel $\sigma$ -Siempre es cierto que las álgebras de Borel $\sigma$ -del espacio producto topológico es al menos tan grande como el producto de las $\sigma$ -álgebras. Se pueden encontrar pruebas de esto, por ejemplo, en El libro de Kallenberg (véase Lema 1.2 ).
El Borel $\sigma$ -del producto incontable de espacios Hasudorff no triviales (al menos dos puntos) es siempre mayor que el producto de los espacios Hasudorff no triviales (al menos dos puntos) es siempre mayor que el producto de los espacios Hasudorff no triviales (al menos dos puntos). $\sigma$ -álgebras. Para verlo, obsérvese que cada punto es cerrado en la topología del producto y, por tanto, un conjunto de Borel. Pero por la construcción del producto $\sigma$ -un conjunto sólo puede depender de un número contable de coordenadas. Más concretamente, existe un resultado general según el cual si $A\in\sigma(\mathcal{F})$ entonces existe una familia contable $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}$ tal que $A\in \sigma(\mathcal{C})$ . Para demostrarlo, basta con comprobar que los conjuntos generados por una subfamilia contable de $\mathcal{F}$ darle una $\sigma$ -que contiene $\mathcal{F}$ . En particular, cada conjunto del producto $\sigma$ -está generada por un número contable de rectángulos medibles.
