¿Es el "producto" de álgebras sigma de Borel el álgebra sigma de Borel del "producto" de topologías subyacentes?

Question

Un álgebra sigma de Borel es el álgebra sigma más pequeña generada por una topología.

El "producto" de una familia de álgebras sigma de Borel consiste en tomar primero el cartesiano de las álgebras sigma de Borel y generar después el álgebra sigma más pequeña.

Del mismo modo, el "producto" de una familia de topologías consiste en tomar primero la cartesiana de las topologías y, a continuación, generar la topología más pequeña.

¿Es el "producto" de algunas álgebras sigma de Borel el álgebra sigma de Borel para el "producto" de sus topologías subyacentes?

Gracias.

Answer 1

El Borel $\sigma$ -del producto contable de segundos espacios topológicos contables es el producto de los espacios de Borel $\sigma$ -Siempre es cierto que las álgebras de Borel $\sigma$ -del espacio producto topológico es al menos tan grande como el producto de las $\sigma$ -álgebras. Se pueden encontrar pruebas de esto, por ejemplo, en El libro de Kallenberg (véase Lema 1.2 ).

El Borel $\sigma$ -del producto incontable de espacios Hasudorff no triviales (al menos dos puntos) es siempre mayor que el producto de los espacios Hasudorff no triviales (al menos dos puntos) es siempre mayor que el producto de los espacios Hasudorff no triviales (al menos dos puntos). $\sigma$ -álgebras. Para verlo, obsérvese que cada punto es cerrado en la topología del producto y, por tanto, un conjunto de Borel. Pero por la construcción del producto $\sigma$ -un conjunto sólo puede depender de un número contable de coordenadas. Más concretamente, existe un resultado general según el cual si $A\in\sigma(\mathcal{F})$ entonces existe una familia contable $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}$ tal que $A\in \sigma(\mathcal{C})$ . Para demostrarlo, basta con comprobar que los conjuntos generados por una subfamilia contable de $\mathcal{F}$ darle una $\sigma$ -que contiene $\mathcal{F}$ . En particular, cada conjunto del producto $\sigma$ -está generada por un número contable de rectángulos medibles.

Answer 2

Se afirma (con una breve prueba) en Billingsley's Convergence of Probability measures (segunda edición) en la página 244, que esto se cumple si los espacios subyacentes son separables. (Sólo considera el producto de dos espacios).