Funciones continuas en $[0,1]$ es denso en $L^p[0,1]$ para $1\leq p< \infty$

Question

Intenté demostrar que las funciones continuas sobre $[0,1]$ son densos en $L^p[0,1]$ para $1 \leq p< \infty$

utilizando el teorema de Lusin.

Procedí de la siguiente manera ..

Utilizando el teorema de Lusin, para cualquier $f \in L^p[0,1]$ para cualquier $\epsilon$ $>$ 0, existe un conjunto cerrado $F_\epsilon$ tal que $m([0,1]- F_\epsilon) < \epsilon$ y $f$ restringido a $F_\epsilon$ es continua.

Usando el teorema de extensión de Tietze, extiende $f$ a una función continua $g$ en $[0,1]$ . Afirmamos que $\Vert f-g\Vert_p$ es suficientemente pequeño.

$$\Vert f-g\Vert_p ^p = \displaystyle \int_{[0,1]-F_\epsilon} |f(x)-g(x)|^p dx$$ $$\leq \displaystyle \int_{[0,1]-F_\epsilon} 2^p (|f(x)|^p + |g(x)|^p) dx$$ utilizando ahora propiedades de $L^p$ podemos hacer que la primera parte de nuestra integral sea suficientemente pequeña. además, como $g$ es conti on $[0,1]$ , $g$ tiene un límite superior $M$ para que la segunda parte de la integración también sea suficientemente pequeña.

Pensé que había resuelto el problema, pero había un problema grave .. nuestra elección de g depende de $\epsilon$ constante $M$ depende en realidad de $\epsilon$ por lo que no está garantizado que la segunda parte de la integración se convierta en 0 ya que $\epsilon$ tiende a 0.

Creo que si nuestra elección de la extensión se puede elegir más específicamente, por ejemplo, mediante la imposición de $g \leq f$ ese tipo de argumento funcionaría. ¿Puede alguien ayudarme a completar mi prueba?

Answer 1

Sea $f\in\mathbb L^p$ y $\varepsilon\gt 0$ . Elija $N$ tal que $\left\lVert f-f\mathbf 1_{-N\leqslant f\leqslant N}\right\rVert_p\leqslant \varepsilon/2$ . Sea $f_N:=f\mathbf 1_{-N\leqslant f\leqslant N}$ .

• El teorema de Lusin da un conjunto cerrado $F$ tal que $[0,1]\setminus F$ tiene una medida menor que $2^{-p} \varepsilon^p/\left(2N\right)^p$ y $f_N$ restringido a $F$ es continua.

• Teorema de extensión de Tietze aplicado a $f_N$ y $F$ da que la extensión $g$ sigue estando limitada por $N$ .

  En consecuencia, $$\left\lVert f_N-g\right\rVert_p^p=\int_{[0,1]\setminus F} \left\lvert f_N-g\right\rvert_p^p\leqslant (2N)^p\lambda\left([0,1]\setminus F\right)\leqslant 2^{-p}\varepsilon^{-p}.$$ Obtenemos así una función continua $g$ tal que $$\left\lVert f-g\right\rVert_p\leqslant \varepsilon,$$ que demuestran que el conjunto de funciones continuas es denso en $\mathbb L^p$ .

Answer 2

Desde $L_p([0,1])=\mathrm{cl}(\mathrm{span}\{\chi_E:E\in\mathfrak{M}([0,1])\})$ basta con demostrar que $$\forall\varepsilon>0\quad\forall E\in\mathfrak{M}([0,1])\quad\exists f\in C([0,1])\quad \Vert f-\chi_E\Vert<\varepsilon$$ En efecto, por regularidad de la medida de Lebesgue existe un conjunto cerrado $F$ y un conjunto abierto $U$ tal que, $F\subset E\subset U$ con $\mu(U\setminus F)<\varepsilon$ . Lo que se desea $f\in C([0,1])$ es $$f(t)=\frac{d(t, [0,1]\setminus U)}{d(t, [0,1]\setminus U)+d(t,F)}$$ donde $d(t, S)=\inf\{|t-s|:s\in S\}$ es la función de distancia.

Answer 3

Fijar $p\text{ , and }1\leq p\lt \infty.$

Utilizando el teorema de Lusin, para cualquier $f \in L^p[0,1]$ para cualquier $\epsilon$ $>$ 0, existe un conjunto cerrado $F_\epsilon$ tal que $m([0,1]- F_\epsilon) < \epsilon$ y $f$ restringido a $F_\epsilon$ es continua.

Usando el teorema de extensión de Tietze, extiende $f$ a una función continua $g$ en $[0,1]$ .

Tenga en cuenta que $f\equiv g$ en $F_\epsilon$ por lo que sólo tenemos que ocuparnos de la integral en $[0,1]- F_\epsilon$ .

Una función continua es siempre integrable en $[0,1]$ Así que $g^p$ es integrable en $[0,1]$ .

Desde $|f(x)-g(x)|^p \leq 2^p (|f(x)|^p + |g(x)|^p)$ y $f \in L^p[0,1],$

sabemos $\int_{[0,1]}|f(x)-g(x)|^p \lt \infty, i.e. |f(x)-g(x)|^p$ es integrable en $[0,1].$

Por la propuesta que publico, $\int_{[0,1]-F_\epsilon}|f(x)-g(x)|^p \to 0$ cuando $m([0,1]- F_\epsilon)\to 0.$

Tenga en cuenta que $\epsilon \to 0 \Rightarrow m([0,1]- F_\epsilon)\to 0$ (Ya que $m([0,1]- F_\epsilon \lt \epsilon$ )

Para cada $\epsilon \gt 0$ podemos encontrar una función continua correspondiente $g_\epsilon,$ y $\Vert f-g_\epsilon \Vert \to 0$ cuando $\epsilon \to 0$ .

Así que.., $C([0,1])$ es denso en $L^p[0,1]$ .

Referencia: La proposición es del Real Analysis,4th Ed, escrito por Royden y Fitzpatrick.